×

Einige elementare Funktionen, welche sich in eine trigonometrische, aber nicht Fouriersche Reihe entwickeln lassen. (German) JFM 48.0305.02

Das erste Beispiel einer überall konvergenten trigonometrischen Reihe, die weder eine Fouriersche noch eine verallgemeinerte Fouriersche (im Sinne Lebesgues) ist, hat Fatou (C. R. 142, 765, 1906) angegeben: \[ f(x) = \sum_{n=2}^\infty \frac {\sin nx}{\log n}. \tag{1} \] Zum Beweis bemerkt er nur ganz kurz: “Man sieht leicht, daß das unbestimmte Integral \[ \int f(x)\, dx = - \sum_{n=2}^\infty \frac {\cos nx}{n\log n}. \tag{2} \] bei \(x \to 0\) keinem endlichen Grenzwert zustrebt.” Verf. bezweifelt, daß man dies wirklich so leicht einsehen könne. Doch ist dies in der Tat etwa auf dem folgenden Wege möglich: Es genügt \( x = \dfrac \pi{2m} (m = 1, 2, 3,\dots)\) zu setzen, von der Reihe (2) die Glieder mit \(n \leqq m\) als Teil I abzuspalten und im Rest II die Glieder mod. \(2m\) zusammenzufassen. Dann wird \[ \text{I } = -\sum_{n=2}^m \frac {\cos nx}{n\log n} \leqq - \sum_{n=2}^{\left[\frac 12 m \right]} \frac 1{2n\log n} \to - \infty \] und, wenn noch \((n \log n)^{-1} = \varepsilon_n\) gesetzt wird, \[ \text{II } = \sum_{\nu =1}^{2m-1} \sin \nu x \{\varepsilon_{m+\nu} \varepsilon_{3m+\nu} + \varepsilon_{5m+\nu} - \cdots \} = O \left( \frac 1{\log m} \right), \] da in der geschweiften Klammer eine alternierende Reihe steht, deren Summe, absolut genommen, \( \leqq \varepsilon_{m+1} \leqq \varepsilon_{m}\) ist. (Denselben Beweis hat, wie Ref. nachträglich von Herrn Perron erfahrt, Herr Fatou ihm bereits vor längerer Zeit mitgeteilt.)
Verf. gibt nun einige weitere Beispiele trigonometrischer Reihen, die keine Fourierreihen sind (auch keine verallgemeinerten). Dieselben haben gegenüber (1) den Vorzug, daß ihre Summe \(f (x)\) eine elementare Funktion ist, wodurch man die Nichtexistenz der Fourierschen Koeffizientenintegrale direkt ablesen kann. Das einfachste unter diesen Beispielen ist \[ \frac 1{ \text{tg} \dfrac x2 \cdot \log \left( \dfrac 12 \sin \dfrac x2 \right)} \] Das (nach Ansicht des Ref.) interessanteste Resultat der Abhandlung findet sich am Schluß derselben. Verf. zeigt hier nämlich, daß das Fatousche Beispiel in enger Beziehung zu dem Ausdruck \[ \frac {-z}{(1-z)\log (1-z)} = \int_0^1 (1-z)^{-\varrho} \, d \varrho = \sum_{n=0}^\infty c_n z^n \quad \text{ für } \quad |z| \leqq 1, z \not = 1 \tag{3} \] steht, indem \[ c_n = \frac 1{\log n} + O \left( \frac 1{(\log n)^2}\right) \] wird. Es ist also die Reihe (1) vom Imaginärteil der Reihe (3) auf dem Rande des Einheitskreises sozusagen der schlimmste Bestandteil.

PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI EuDML

References:

[1] ?Summierbar? nach Lebesguescher Terminologie, fallsf(x) nicht beschränkt ist.
[2] Fatou, Sur le développement en séric trigonométrique des fonctions non intégrables. Comptes rendus hebd. de l’Acad. des sciences142 (1906), S. 765-767. · JFM 37.0424.04
[3] H. Lebesgue, Leçons sur les séries trigonométriques. Paris 1906. S. 124.
[4] Wie man bekanntlich durch Abelsche Summation beweist. Man vgl. z. B. K. Knopp, Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen (Berlin, Springer, 1922) S. 308, wo die Konvergenz des reellen und imaginären Teiles getrennt gezeigt wird. · JFM 48.0222.01
[5] Die Einschränkunga<1 bei den Funktionen (8) und (9) ist notwendig, weil sonst der Nenner logasinx/2im Innern des Intervalles (0, 2?) zwei Nullstellen hätte, über welche die Funktion nicht hinweg integriert werden könnte.
[6] Vgl. meine Arbeit: Über das Verhalten vonf (?)(x) für lim ?=?, wennf(x) einer linearen homogenen Differentialgleichung genügt. Sitzungsberichte der bayr. Akad. d. Wissenschaften; math.-phys. Klasse 1913, S. 355-382, speziell S. 358.
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. In some cases that data have been complemented/enhanced by data from zbMATH Open. This attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming completeness or a perfect matching.