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Approximation algebraischer Zahlen. (German) JFM 48.0163.07

Math. Z. 10, 173-213 (1921); Diss. Göttingen.
A. Thue hatte (vgl. insb. die in JFM 40.0265.01 kurz besprochene Arbeit [J. Reine Angew. Math. 135, 284–305 (1909)]) bewiesen:
Für jede reelle algebraische Zahl \(n\)-ten Grades \(\xi\) hat die Ungleichung \[ \left|\xi-\frac xy\right|\leqq \frac{1}{y^{\frac n2 +1+\varepsilon}} \quad(\varepsilon>0) \] nur endlich viele Lösungen.
Siegel beweist durch Verfeinerung der Thueschen Methode dasselbe sogar für \[ \left|\xi-\frac xy\right|\leqq \frac{1}{y^{2 \sqrt n}}\,, \] so daß die Größenordnung des Exponenten im Nenner ganz überraschenderweise auf \(\sqrt n\) herabgedrückt ist. Statt \(2\sqrt n\) kann sogar \(\mathop{\text{Min}}\limits_{\lambda=1,\,\ldots,\,n} \left(\dfrac n{\lambda+1} +\lambda\right) +\varepsilon\) stehen. Letztere Zahl ist für \(n < 7\) die Thuesche, für \(n \geqq 7\) kleiner.
Dies Ergebnis ergibt sich bei Siegel als Spezialfall viel allgemeinerer Sätze über diophantische Approximationen algebraischer Zahlen durch algebraische. Verf. kann wichtige Folgerungen in dem bisher unerforschten Gebiet der diophantischen Gleichungen mit Koeffizienten und Unbekannten in beliebigen algebraischen Zahlkörpern ziehen. Hier sei nur ein Spezialfall erwähnt: Hat eine homogene Form \(U(x, y)\) ihren Grad \(\geqq 13\) und ihre Koeffizienten in einem quadratischen Zahlkörper, so hat \(U(x, y) = c\), wo \(x\), \(y\), \(c\) ganze Zahlen dieses Körpers sind (\(c\) gegeben), nur endlich viele Lösungen.
Von Siegels Anwendungen auf die elementare Zahlentheorie sei nur erwähnt, daß er folgendes bisher unüberwundene Problem löst. Gauß hatte vermutet, daß für jedes ganzzahlige \(k > 0\) der größte Primfaktor von \(x^2 + k\) mit \(x\) über alle Grenzen wächst. Bewiesen hatte dies erst G. Pólya [Math. Z. 1, 143–148 (1918; JFM 46.0240.04)], aus dem Thueschen Satz. Siegel beweist dasselbe für jedes ganzzahlige Polynom beliebigen Grades, welches nicht lauter gleiche Wurzeln besitzt (z. B. \(x^3 + 2\)). Und noch vieles mehr.

MSC:

11J68 Approximation to algebraic numbers
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