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The theory of modular partitions. (English) JFM 48.0154.01

Unter dem Rang \(k\) einer Zerlegung von \(n\) in Summanden nach dem Modul \(\mu\) wird die nächste ganze Zahl über \(\dfrac {m_1}\mu\) (inkl.) verstanden, wenn \(m_1\) der größte Summand ist. Schreibt man die Zerlegung \[ m = m_1 + \cdots + m_i \quad (m_1 \geqq m_2 \geqq m_3 \geqq \cdots \geqq m_i \geqq 1) \] “nach dem Modul \(\mu\)”, d. h. in der Form \[ \left\{\begin{matrix} \l \\ m_1 = \mu + \mu + \mu + \cdots + \mu + r_1 = \mu, \mu, \mu, \dots, \mu, r_1, \\ m_2 = \mu + \mu + \mu + \cdots + \mu + r_2 = \mu, \mu, \mu, \dots, \mu, r_2, \\ \hdotsfor 1 \\ m_i = \mu + \mu + \mu + \cdots + \mu + r_i = \mu, \mu, \mu, \dots, \mu, r_i, \end{matrix} \right. \tag{1} \] so ist der Rang \(k\) die Anzahl der Summanden von \(m_1\). Eine Zerlegung heißt “konjugierbar” mod. \(\mu\), wenn das Schema (1) durch Vertauschung von Zeilen und Spalten wieder eine nach dem mod. \(\mu\) in obiger Weise eingeteilte Zerlegung von \(n\) darstellt. Es gilt dann, daß die Anzahl aller mod. \(\mu\) konjugierbaren Zerlegungen von \(n\) vom Range \(k\) (oder \(\leqq k\)) in \(i\) (oder \(\leqq i\)) Summanden gleich ist der Anzahl aller mod. \(\mu\) konjugierbaren Zerlegungen von \(n\) vom Range \(i\) (oder \(\leqq i\)) in \(k\) (oder \(\leqq k\)) Summanden.
Verf. stellt sodann erzeugende Funktionen für die konjugierbaren Zerlegungen, ferner für die konjugierbaren Zerlegungen mit begrenzter Rangzahl oder Summandenzahl oder beiden auf, die sich durch passende Modifikation der erzeugenden Funktion \[ \prod_{m=1}^\infty \frac{1}{1-q^m} \] für alle Zerlegungen ergeben, sowie zuletzt noch erzeugende Funktionen eines anderen Typus für die konjugierbaren Zerlegungen begrenztern Ranges.

MSC:

11P81 Elementary theory of partitions
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