Lecat, M. Sur les déterminants cayléens et bicayléens anormaux. (French) JFM 48.0113.03 Math. Zeitschr. 15, 291-308 (1922). Es handelt sich um die Multiplikation allgemeiner Determinanten.Man nennt (verallgemeinerte) Determinante \(n\)-ter Dimension (\(=\) classe) einer Matrix von \(n^p\) Elementen mit je \(n\) Indices diejenige Funktion, die aus der Permanente (\(=\) permanent) dieser Matrix entsteht, indem man jedes Glied der ersteren, multipliziert mit \((-1)\) hoch Gesamtzahl der Inversionen in solchen Indicesgruppen, die von gerader Anzahl \(\nu\) und von vornherein durch ihre Stellen (\(=\) rangs) bestimmt sind. Diese heißen signant, ebenso wie die Indices, welche auf diesen Stellen stehen, während die übrigen Stellen und Indices nonsignant heißen. Art (\(=\) espèce) der Determinante heißt die Anzahl \(\nu\) der Signanzen, die der Non-Signanzen ist \(n-\nu\). Für \(\nu=0\) hat man die Permanente, für \(\nu=n\) (gerade) die Persignante.Cayléenne zweier Matrizen \(M_1\) und \(M_2\) derselben Ordnung \(p\) ist eine Matrix \(p\)-ter Ordnung, wovon gewisse Determinanten, die “cayléens normaux”, nach der Regel von Cayley-Rice (1843, 1918) das Produkt zweier Determinanten von \(M_1\) und \(M_2\) darstellen. Ein dabei auftretender Summationsindex \(\varrho\) muß auf signanter Stelle stehen. Steht dagegen \(\varrho\) auf non-signanter Stelle, so hat man die “cayléens anormaux”. Diese drücken nicht mehr Produkte von Determinanten der Ausgangsmatrizen aus.Verf. gibt das Bildungsgesetz für diese anormalen Werte, indem er speziell den Fall betrachtet, wo die Ordnung \(p=2\) ist.Dann betrachtet er Matrizen, wovon gewisse Determinanten das Produkt dreier Determinanten darstellen. Man erhält solche, indem man a) erst die Regel von Cayley, dann die von Scott (welche das Produkt zweier Determinanten als Determinante mit monomen Elementen darstellt) anwendet, oder b) erst die Regel von Scott, dann die von Cayley, oder aber c) zweimal die Regel von Cayley (was auf die “bicayléennes” führt), oder endlich d) zweimal die Regel von Scott. Die Determinanten, welche Produkte ausdrücken, heißen wieder normal, sonst anormal; quasi-normal heißen sie, falls sie sich normal durch Multiplikationsregeln, aber als Funktion von “cayléens anormaux” ausdrücken. Verf. studiert die a- und die quasi-normalen Werte. Die nach d) erhaltenen Matrizen geben nur normale Werte und bleiben daher hier außer Betracht.Schließlich gibt Verf. noch Verallgemeinerungen auf \(n\) Ausgangsmatrizen von beliebigen ungeraden Dimensionen. Reviewer: Lecat, M., Dr. (Louvain) (Neder, Prof. (Münster i. W.)) JFM Section:Zweiter Abschnitt. Arithmetik und Algebra. Kapitel 4. Theorie der Formen. Determinanten. Invariantentheorie. Symmetrische Funktionen und Verwandtes. Bilineare und quadratische Formen. Lineare Substitutionen. Modulsysteme und Elimination. PDFBibTeX XMLCite \textit{M. Lecat}, Math. Z. 15, 291--308 (1922; JFM 48.0113.03) Full Text: DOI EuDML References: [1] L.-H. Rice,P-way determinants, American J. math.40, 1918, pp. 242-262, partic. pp. 246 et suiv. Cf. M. Lecat, Sur une généralisation des déterminants etc., Annales Soc. scient. Bruxelles39, 1919-1920, seconde partie, pp. 10-20. · JFM 46.0162.05 [2] Full-sign determinant de L.-H. Rice. [3] On pourrait écrirecayleyenne, orthographe adoptee notamment lorsqu’on désigne certaine courbe envisagée par. Cayley. [4] A. Cayley, On the notations and properties of certain functions, Trans. Cambridge Philos. Soc.8, 1842-1849, Part I, pp. 85-88; The Collected Math. Papers1, Cambridge 1889, pp. 75-79; L.-H. Rice, loc. cit., pp. 250-252. [5] R.-F. Scott, On cubic determinants and other determinants of higher class, Proc. London math. Soc., (1)11 (1879-1880), p. 17-29; L.-H. Rice, loc. cit. [6] Voir: Ann. Soc. scient. Bruxelles41 (1921-1922), 1ere partie, p. 310-315. [7] Nous étudions ailleurs la répartition?plus compliquée?des valeurs normales et nous réservons aussi à un autre mémoire le cas où la matrice cubique estmérogène, 2 ou 3 de ses déterminants étant égaux. Lamonogénéité, due notamment à l’actinomorphisme (indices tous permutables) est particulièrement intéressante. [8] Il y a 320 scott-cayléens. Mais les matrices sont actinoïdes, les facteurs de l’élément général étant permutables. et c’est une raison (mais non la seule) pour qu’elles soient mérogènes. Convenons de dire que les déterminants ne sont pas distincts lorsque c’est pour cette raison qu’ils ont même valeur. Pour chacune des 3 matrices (?, ?, ?) il y a 10 déterminants distincts, respectivement 1, 4, 4, 1 d’espèces 0, 2, 4, 6; pour chacune des 6 matrices (?, ?, ?) il y en a 20, respectivement 1, 9, 9, 1 des mêmes espèces; enfin, pour l’unique scott-cayléenne (?, ?, ?), les 32 déterminants sont distincts. Au total, il y en a donc 182. [9] Nous étudions ailleurs la répartition des valeurs normales, la matrice primitive étant soit hologène, soit mérogène. [10] Nous traitons ailleurs, en détail, la question concernaut les valeurs normales. [11] Il est intéressant de remarquer que pour les valeurs normales le facteur principal donne toujoursP, tandis que pour les bicayléens anormaux, il denneD ?, si ? est, dans ce facteur, le rang non-signant. [12] On sait qu’un permanent à une seule dintension (ou de classe 1) est un simple produit. This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. 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