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Ein Satz über Kegelschnitte mit einigen Anwendungen auf die perspektive Affinität. (German) JFM 47.0584.17

Sei \(k_0\) ein fester Kegelschnitt, \(o\) die Polare von \(O\) in bezug auf \(k_0.\) Unter \(k\) seien die Kegelschnitte verstanden, die durch einen festen Punkt \(Q\) gehen, und in bezug auf die \(o\) Polare von \(O\) ist. \(a, b\) seien zwei beliebige Punkte auf den Tangenten von \(O\) an \(k_0, \kappa\) der Büschel, dessen Kegelschnitte \(OQ\) in \(O\) berühren und durch \(a, b\) gehen. Dann lassen sich die \(\kappa\) in Paare \(\kappa_s, \kappa_t\) mit folgender Eigenschaft ordnen: ein Kegelschnitt \(k\) schneidet \(o\) in zwei, \(k_0\) in vier Punkten. Die ersteren werden aus \(O\) in \(s_1, s_2\) auf \(\kappa_s,\) die letzteren in \(t_1, t_2\) auf \(\kappa_t\) projiziert. Dann liegen für jeden \(k\) die vier Punkte \(s, t\) in einer Geraden.
Dieser Satz wird zur räumlichen Erzeugung der Beziehung zweier affinen ebenen Systeme mittels Parallelprojektion angewendet. Es werden die mit dem Systeme \((P)\) affinen Systeme \((P')\) bestimmt, die in \((P)\) in der gegebenen Richtung \(q\) parallelprojiziert werden können, sodann diejenigen, die in zwei gegebenen Richtungen \(q_1, q_2\) in \((P)\) parallelprojiziert werden können, endlich dasjenige System \((P'),\) das in \(P\) in drei gegebenen Richtungen \(q_1, q_2, q_3\) parallelprojiziert werden kann. Zum Schlußwerden die mit \((P)\) affinen und mit einem gegebenen Systeme \((P_0')\) ähnlichen Systeme \((P')\) bestimmt, die in \((P)\) in einer gegebenen Richtung \(q\) parallelprojiziert werden können.
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Full Text: DOI EuDML