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Sur la notion d’intégrale dans le domaine fonctionnel et sur la théorie du potentiel. Fonctions d’une infinité de variables indépendantes. (French) JFM 47.0382.01

Die erste dieser beiden von Paul Lévy aus dem Nachlaß des Verf. herausgegebenen, 1914 verfaßten Arbeiten geht von einer Übertragung den Integralbegriffes auf den Funktionalraum aus. Dabei wird der Integrationsbereich des Funktionalraumes (z. B. \(\int_0^1 x(\alpha)^2\,d\alpha \le R^2)\) durch denjenigen eines \(n\)-dimensionalen Raumes approximiert, der für eine in \(n\) gleichen Teilintervallen von (0,1) abschnittsweise konstante Funktion \(x(\alpha)\) aus ihm entsteht (im Beispiel \(\sum_{i =1}^n x_i^2 \le n \cdot R^2)\) und der an Stelle des Integrals tretende Mittelwert des Funktionals \(f (x(\alpha))\) als Grenzwert der Mittelwerte von \(f (x_1, \dots, x_n)\) in diesem \(n\)-dimensionalen Bereiche erklärt. In analoger Weise werden die Begriffe des Belegungspotentials und einige grundlegende Sätze der Potentialtheorie auf den Funktionalraum übertragen.
Die zweite Arbeit beschäftigt sich in der Hauptsache mit Funktionen unendlich vieler Veränderlicher \(x_1, x_2,\dots,\) die unter Zugrundelegung des Entfernungsbegriffes \(\sum_{n =1}^\infty \frac 1{n!} \frac {|x_n-x_n'|}{1 +|x_n-x_n'|}\) stetig sind. Eine im Bereiche \(|x_p|\le k \cdot R_p\) (wo \(k, R_p\) positive Zahlen) stetige Funktion \(P(x_p),\) für die \(P(\lambda x_p + \mu t_p)\) für alle \(x_p, t_p\) ein Polynom \(n\)-ten Grades der komplexen Veränderlichen \(\lambda, \mu\) ist, heißt ein Polynom \(n\)-ten Grades in \(x_p\) und gestattet eine Darstellung durch konvergente Reihen \(n\)-ten Grades in den \(x_p.\) Durch gleichmäßig konvergente Reihen solcher Polynome entsteht der Begriff analytischer bzw. holomorpher Funktionen, der ein wenig anders formuliert ist wie bei D. Hilbert [Palermo Rend. 27, 59–74 (1909; JFM 40.0391.02)]. dessen Eigenschaften indessen, wie durch eine Reihe von Sätzen und Beispielen gezeigt wird, gleichfalls wesentliche Abweichungen vom Verhalten der analytischen Funktionen endlich vieler Veränderlicher zeigen.

MSC:

46-XX Functional analysis

Citations:

JFM 40.0391.02
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Full Text: DOI Numdam EuDML