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Sur un ensemble \(G_\delta\), punctiforme, qui n’est pas homéomorphe avec aucun ensemble linéaire. (Polish) JFM 47.0175.04

Die Frage, ob es im \(n\)-dimensionalen Euklidischen Raum \(R_n\) punkthafte Mengen gibt, die mit keiner linearen Menge homöomorph sind, wird bereits bejahend beantwortet durch Beispiele von ebenen Mengen, die zugleich mit ihrer Komplementärmenge punkthaft sind, – Beispiele, die schon früher von Mazurkiewicz und Sierpiński (Krak. Anz. (A) 1913, 46 u. 76; F, d. M. 44, 91, 1913) gegeben worden sind. (Vgl. auch das vorletzte Referat.) Diese Fragestellung wird nun noch vertieft, indem die punkthaften Mengen einer bestimmten Klasse betrachtet werden. Jede abgeschlossene punkthafte Menge ist bekanntlich mit einer linearen Menge homöomorph: dasselbe gilt auch für die punkthaften Mengen \(F_\sigma\) (= Vereinigungsmengen abzählbar vieler abgeschlossener Mengen). Dagegen wird hier nachgewiesen, daßes in der Ebene punkthafte Mengen \(G_\delta\) (d. h. innere Grenzmengen, also Durchschnitte abzählbar vieler offener Mengen) gibt, die mit keiner linearen Menge homöomorph sind. Für diese Untersuchung werden auch einige notwendige Bedingungen dafür angegeben, daßeine punkthafte Menge des \(R_n\) mit einer linearen Menge homöomorph sei.

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Full Text: DOI EuDML