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Über eine neue Eigenschaft der Diskriminanten und Resultanten binärer Formen. (German) JFM 47.0086.02

Das Hauptresultat der Arbeit ist der Satz: Ist die Diskriminante der binären Form \(A(\xi, \eta)=a_0\xi^n +\left(\begin{matrix} n\𝟙\end{matrix}\right) a_1\xi^{n-1}\eta +\cdots +a_n\eta^n\) gleich \(D(a_0,a_1, \dot s, a_n),\) so entsteht die allgemeinste lineare Substitution der Veränderlichen \(a_0, a_1, \dot s, a_n,\) die \(D(a_0,a_1, \dot s, a_n)\) in sich (bis auf einen konstanten Faktor) überführt, indem man auf die Variablen \(\xi, \eta\) eine beliebige lineare homogene Substitution mit nichtverschwindender Determinante anwendet und die so sich erhebenden neuen Koeffizienten der Form \(A\) in \(D(a_0,a_1,\dot s, a_n)\) einträgt. Dieser Satz, der zur direkten Charakterisierung der Gruppe dient, die der binären Invariantentheorie zugrunde liegt, wird mit Hilfe eines älteren Satzes von Hilbert über die Singularitäten der Diskriminantenfläche bewiesen. Sodann wird der Satz verallgemeinert auf die Resultante \(R(a_0, \dot s, a_n; b_0, \dot s, b_m)\), von \(A(\xi, \eta)\) und \(B(\xi, \eta)=b_0\xi^m +\left(\begin{matrix} m\𝟙\end{matrix}\right) b_1\xi^{m-1}\eta +\cdots +b_m\eta^n,\) wobei sich wesentlich verschiedene Resultate ergeben, je nachdem ob man die Voraussetzung macht, daßin der linearen Substitution, die \(R\) in sich überführt, die neuen \(a\) nur von den alten \(a\) und die neuen \(b\) nur von den alten \(b\) abhängen oder nicht. Beide Male stimmen aber die schließlich sich ergebenden Gruppen von Automorphien mit denjenigen überein, die bereits aus der elementaren Algebra bzw. Invarianten- und Determinantentheorie bekannt sind.
Zum Schlußwird bewiesen, daßweder \(D\) noch \(R\) Automorphien mit verschwindender Determinante besitzen, indem gezeigt wird, daßsie sich nicht durch lineare umkehrbare Substitutionen in Formen mit einer kleineren Anzahl von Veränderlichen transformieren lassen.
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References:

[1] D Hilbert, ?ber die Singularit?ten der Diskriminantenfl?che, Math. Ann. XXX (1887), S. 437 ff. · JFM 19.0843.03 · doi:10.1007/BF01444088
[2] Man vgl. hierzu die Literaturangaben bei Fricke Klein, Vorlesungen ?ber automorphe Funktionen, Leipzig (1897), Bd. I, S. 12-15, 44-49.
[3] S. Lie Theorie der Transformationsgruppen, III, S. 190-196. G. Fane. Torino Mem. (2) 46, Roma Lincei Rend (5) 4, 1. Sem. p. 149. (Vgl. auch Enz. d. M. V. IIAB 48Nr. 8).
[4] Vgl. z. B. Faz di Bruno, Theorie der bin?ren Formen, Leipzig (1887), S. 105.
[5] D. Hilbert, ?ber die Singularit?ten der Diskriminantenfl?che, Math. Ann. XXX (1887), S. 437 ff. Der zitierte Satz ist als Spezialfall im allgemeinen Satz ?ber den Zusammenhang der Ausartungen einer bin?ren Form mit dem verhalten der Polaren ihrer Diskriminante enthalten, den Hilbert in dieser Abhandlung aufstellt und beweist. · JFM 19.0843.03 · doi:10.1007/BF01444088
[6] Da? man auf diese Weise in der Tat zu den ersten Gliedern der Reihenenetwicklungen gelangt, folgt aus den bekannten Methoden der Reihenewtwicklung algebraischer Funktionen. Man vgl. z. B. Hensel-Landsberg, Theorie der algebraischen Funktionen einer Variabei, (Leipzig 1902), 4. und 5 Vorlesung.
[7] S. Kantor, Sitzungsber. der Akad. M?nchen, 1897, S. 370, sowie Monatshefte f?r Math. und Physik, 1900, S. 195, 220. G. Frobenius, Berl. Sitzungsber., 1897, S. 1011. Der Satz ist sp?ter wiederholt behandelt worden, s. z. B. C. St?phanos, Journal de math?matiques p. et a., 1900 (5) 6, s. 121-128, E. Steinitz, Sitzungsber. der Berl. Math. Gesellschaft, 1903, S. 47-52. Unser Beweis h?ngt mit dem Beweis von C. St?phanos sehr enge zusammen.
[8] G. Frobenius, Berl. Sitzungsber. 1897, S. 1014.
[9] G. Frobenius a. a. O., Berl. Sitzungsber. 1897, S. 1014. wo die beiden Tatsachen direkt bewiesen werden.
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