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Mémoire sur les surfaces algébriques doubles ayant un nombre fini de points de diramation. (French) JFM 46.1500.04

Ein neues Glied in der Reihe der Arbeiten, welche der Verf. in den Jahren 1913-14 veröffentlicht hat. Die Hauptresultate der gegenwärtigen Abhandlung sind im folgenden Satz enthalten:
“Sei \(\varPhi\) eine algebraische Fläche mit dem arithmetischen Geschlecht \(\pi_\alpha \geqq -1\), welche als Doppelfläche mit einer endlichen Anzahl von Doppelpunkten angesehen werden kann. Man kann \(\varPhi\) in eine normale und einfache Fläche \(\varPhi\) transformieren, welche keine Ausnahmekurven besitzt, von der Ordnung \(n\) ist, deren ebene oder hyperebene Schnitte vom Geschlecht \(\pi\) sind, die ferner in einem linearen Raume mit \(\varrho=n-\pi+\pi_\alpha+1 \geqq 3\) Dimensionen (\(n-\pi >\pi_\alpha+1\) vorausgesetzt) enthalten ist und in jedem Verzweigungspunkt einen konischen Doppelpunkt besitzt. Die notwendigen und hinreichenden Bedingungen, damit die Doppelfläche existiere, sind: 1. Die Anzahl der Verzweigungspunkten mußein Vielfaches von 4 sein. 2. Es gibt unter den Flächen, welche aus \(\varPhi_0\) von den hyperebenen Schnitten außer den eventuellen Doppelkurven ausgeschnitten werden, solche, welche durch die \(\sigma\) Verzweigungspunkte gehen und \(\varPhi_0\) in allen Punkten ihrer Durchschnittskurven mit dieser Fläche berühren, diese Berührungskurven sind von der Ordnung \(n\), vom Geschlecht \(\pi-\frac{\sigma}{4}\) und bilden ein lineares System vom Grade \(n-\frac \sigma 2\).”
Durch Benutzung dieses Theorem werden folgende andere Sätze aufgestellt:
I. Die zwei folgenden Problem sind äquivalent: a) Die Doppelebene vom Geschlecht 1 zu bestimmen, welche die Involutionen der Ordnung 2 über einer Fläche vom Geschlecht 1 darstellen; die durch zwei vertauschbare birationale Transformationen der Fläche in sich selbst erzeugt sind, vorausgesetzt, daßdas Produkt dieser Transformationen eine Involution von Geschlecht 1 ist. II. Wenn eine Fläche vierter Ordnung ohne vielfache Kurven eine Involution der Ordnung 2 über einer Fläche vom Geschlecht 1 darstellt, so ist sie die Einhüllende einer Reihe von Flächen zweiten Grades vom Index 2 mit acht gemeinschaftlichen Punkten. III. Wenn eine Fläche sechster Ordnung des vierdimensionalen Raumes mit hyperebenen Schnitten vom Geschlecht 4 eine Involution von der Ordnung 2 auf einer Fläche vom Geschlecht 1 darstellt, so besitzt sie zwei andere Involutionen von der Ordnung 2, wovon eine rational ist.
Die Methode ist halb analytisch und halb geometrisch, wie bei den meisten Arbeiten, welche in das Gebiet der neueren algebraischen Flächentheorie fallen.
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Full Text: DOI Numdam EuDML