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Dynamical systems with two degrees of freedom. (English) JFM 46.1174.01

Trans. Am. Math. Soc. 18, 199-300 (1917); Bull. Am. Math. Soc. 22, 270-271 (1916); Bull. Am. Math. Soc. 23, 71 (1916); Proc. Natl. Acad. Sci. USA 3, 314-316 (1916).
Diese Arbeit dürfte einen erheblichen Fortschritt unserer Kenntnisse über Differentialgleichungen zweiter Ordnung darstellen in der Richtung, die vor allem durch die Arbeiten Poincaré’s mit so großem Erfolg eingeschlagen worden ist. Es werden solche Gleichungen betrachtet, die einem Variationsproblem der Form \[ \delta \int \{ \tfrac 12 [ ax'{}^2 + 2bx'y'+cy'{}^2]+ \alpha x'+\beta y'+\gamma \}\, dt=0 \] entspringen. Zunächst wird gezeigt, wie sie sich auf die Form \[ x''+\lambda y'=\gamma_x;\quad y''-\lambda x'=\gamma_y \quad (\lambda=a_y- \beta_x) \] transformieren lassen. \(\lambda = 0\) heißt der reversible, \(\lambda \neq 0\) der irreversible Fall. In jedem Falle besteht das Integral der lebendigen Kraft, das durch Einbeziehen einer Konstanten auch in die Form \[ \frac 12(x'{}^2+y'{}^2)=\gamma \] gebracht werden kann. Für den reversiblen Fall ist die Versinnbildlichung als Punktbewegung auf einer glatten Fläche wohlbekannt: Birkhoff zeigt, daßauch der irreversible Fall als Bewegung auf einer glatten Fläche (der charakteristischen Fläche) unter Einwirkung eines Potentials gedeutet werden kann, wenn man noch annimmt, daßsich die Fläche mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um eine feste Achse dreht. Das Hauptproblem besteht nun in dem Nachweis der Existenz periodischer Bahnen. Zunächst ergeben sich solche nach dem Vorgang von Whittaker und Signorini aus dem Minimumsprinzip, im irreversiblen Fall allerdings nur bei gewissen Einschränkungen über das Vorzeichen von \(\lambda\). Weiter heißt das Minimaximumprinzip: Wenn eine Funktion \(J\) in einem \(n\)-dimensionalen Kontinuum mit Einschlußdes Randes stetig ist und \(l\) Punkte relativen Minimums besitzt, wenn man ferner jeden Weg von einem Minimum zum andern, für den \(J \leq J'\) ist, innerhalb des Kontinuums so abändern kann, daß\(J \leq J'\) bleibt, so gibt es mindestens \(n+l-1\) Punkte der Minimaximumeigenschaft, d. h. Punkte, in deren infinitesimaler Nähe es mindestens zwei getrennte Gebiete mit kleineren \(J\)-Werten gibt. Damit kann z. B. folgender Satz bewiesen werden: “Ist beim reversiblen Falle die charakteristische Fläche geschlossen und vom Geschlecht Null, gibt es ferner \(l \geqq 0\) periodische Bahnen vom Minimumtyp, so gibt es mindestens \(l+1\) periodische Bahnen vom Minimaximumtyp.” Es folgen dann Untersuchungen über die Änderung des Verhaltens bei Änderung eines Parameters \(\mu\). In einem dritten Abschnitt wird der Begriff der “Schnittfläche” (surface of sections) erklärt: Eine stückweise analytische Fläche im Raume der \(x, y, x', y'\), gelegen auf dem dreidimensionalen Raume \(\frac 12(x'{}^2+y'{}^2)=\gamma\), regulär begrenzt durch eine endliche Anzahl geschlossener Stromlinien (d. h. Integralkurven) und von den anderen Stromlinien mindestens einmal im selben Sinne geschnitten. Dieser Begriff tritt in gewissen Fällen schon bei Poincaré auf. Hier wird allgemein die Existenz geprüft. Endlich wird in einem vierten Abschnitt wieder in Fortführung von Untersuchungen Poincaré’s die Frage der invarianten Punkte bei der Transformation \(T\), als welche sich die Bewegung auffassen läßt, und damit auch der periodischen Bahnen weiter gefördert, z. B. Poincaré’s berühmtes Theorem über die invarianten Punkte bei Abbildung eines Kreisringes auf sich selbst erweitert (Vgl. das Ref. auf S. 834.)

MSC:

34-XX Ordinary differential equations
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