×

Sur les courbes gauches algébriques. (French) JFM 46.1003.01

Die algebraische Raumkurve \(\varGamma\) wird in der “Monoid”- Darstellung \[ (1) \quad \varphi(x, y)=0;\quad z\chi(x, y)=\psi(x, y)=0 \] vorausgesetzt. Das Studium der singulären Punkte von \(\varGamma\) wird auf dasjenige der singulären Punkte der beiden Gebilde (1) zurückgeführt, insbesondere werden ihre in singuläre Punkte fallenden Schnittpunkte diskutiert. Diese Zurückführung gelingt bis auf einen Ausnahmefall, der sich übrigens wohl durch eine Zusatzdiskussion nach geeigneter Variabelntransformation erledigen ließe. Das Hilfsmittel ist die Reihenentwicklung um die singulären Punkte der Ebene.
Die so gefundenen Ergebnisse werden verwendet, um notwendige und hinreichende Bedingungen aufzustellen, daß das Gleichungssystem (1) sich durch ein äquivalentes \[ (2) \quad \varphi(x, y)=0; z\chi_1(x, y)-\psi_1(x, y)=0 \] ersetzen läßt. Hier wird aber die stark einschränkende Voraussetzung gemacht, daß weder \(\varphi\) und \(\chi\), noch \(\varphi\) und \(\psi\) sich in den gemeinsamen, im allgemeinen vielfachen Schnittpunkten berühren. Dann ist das Resultat durch einfache Multiplizitätsbedingungen für \(\chi_1\) und \(\psi_1\) genau anzugeben. Für den Spezialfall, daß \(\varGamma\) keine singulären Punkte besitzt, führt das auf bekannte Sätze von Halphen (F. d. l’Éc. Pol. 1882) zurück. – Das Hilfsmittel ist die Darstellung \(A\varphi+B\psi\); da man diese aber auch im Falle beliebiger Berührung beherrscht, müßte es möglich sein, sich von den einschränkenden Voraussetzungen zu befreien.
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: Gallica