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Über das Neumann-Poincarésche Problem für ein Gebiet mit Ecken. (Swedish) JFM 46.0732.04

Upsala, 193 S. (1916).
Es sei \(C\) eine geschlossene Kurve, die aus einer endlichen Anzahl stetig gekrümmter Kurvenstücke besteht. Die beiden Probleme, ein Potential der doppelten Schicht \[ W(p)=\int_C\frac{\cos(r_{t_p},n_t)}{r_{t_p}}\mu(t)dt \] und ein Potential der einfachen Schicht \[ V(p)=\int_C\log\frac{1}{r_{t_p}}\psi(t)dt \] so zu bestimmen, daßauf \(C\) die Bedingungen \[ W_i(s)-W_e(s)-\lambda(W_i(s)+W_e(s))=2\pi f(s) \] bzw. \[ \left(\frac{dV}{dn}\right)_i- \left(\frac{dV}{dn}\right)_e+ \lambda\left[\left(\frac{dV}{dn}\right)_i+\left( \frac{dV}{dn}\right)_e\right]=-2\pi g(s) \] erfüllt werden, führen auf die zueinander assoziierten Integralgleichungen \[ \begin{matrix} (1)\quad \mu(s)-\lambda\int_C K(s,t)\mu(t)dt&=f(s) \\ (2)\quad \psi(s)-\lambda\int_C K(s,t)\psi(t)dt&=g(s), \end{matrix} \] wo \[ K(s,t)=\frac{\cos(r_{t_s},n_t)}{\pi r_{t_s}}\cdot \] Wenn \(C\) überall stetig gekrümmt ist, so ergibt die Fredholmsche Theorie daß\(\mu(s)\) und \(\psi(s)\), für welche im folgenden, um die Abhängigkeit von \(\lambda\) hervorzuheben, \(\mu(s,\lambda)\) und \(\psi(s,\lambda)\) geschrieben wird, in der ganzen Ebene meromorphe Funktionen von \(\lambda\) sind. Wenn dagegen \(C\) mit Ecken behaftet ist, so wird \(K(s,t)\) in der Weise singulär, daßman die Fredholmsche Methode nicht mehr anwenden kann. Im ersten Teil der vorliegenden Arbeit wird mittels einer allgemeinen Methode gezeigt, daßin diesem Falle \(\mu(s,\lambda)\) und \(\psi(s,\lambda)\)4 im Kreise \(| \lambda| <R>1\) meromorph sind, wo \(R\) die kleinste der Größen \(\frac{\pi}{| \pi-\alpha_i| }\) bedeutet (\(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n=\) die Öffnungswinkel der Ecken). Dieses Resultat wurde schon früher von Zaremba mittels der Poincaréschen Methode bewiesen. Der Verf. behandelt auch das entsprechende dreidimensionale Problem. Im zweiten Teil wird das Verhalten von \(\mu(s,\lambda)\) und \(\psi(s,\lambda)\) außerhalb des Kreises \(| \lambda| =R\) untersucht und die Lösbarkeit der Gleichungen (1), (2) und der zugehöngen homogenen Gleichungen \[ \begin{matrix} (3)\quad \varphi(x)-\lambda\int_C K(x,t)\varphi(t)dt&=0 \\ (4)\quad \psi(x)-\lambda\int_C K(t,x)\psi(t)dt&=0 \end{matrix} \] genau diskutiert. Der Einfachheit halber werden hier nur Kurven \(C\) mit einer einzigen Ecke betrachtet. Unter anderem ergibt sich folgendes. Die Gleichung (3) hat nur für eine im Endlichen sich nirgends häufende Folge von \(\lambda\)-Werten \(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n,\dots\) von Null verschiedene auch im Eckpunkte stetige Lösungen \(\varphi_1(x),\varphi_2(x),\dots,\varphi_n(x),\dots\). Dagegen besitzt (3) für jeden reellen \(\lambda\)-Wert, dessen absoluter Betrag größer als \(R\) ist, eine beschränkte, im Eckpunkte nicht stetige Lösung \(\Phi(x,\lambda)\).
\(K(x,y)\) ist ein durch \(\log\frac{1}{r_{xy}}\) symmetrisierbarer Kern. Nach Herleitung einiger allgemeinen Sätze über symmetrisierbare Kerne behandelt der Verf. das Problem, willkürliche Funktionen nach den Lösungen von (3) und (4) zu entwickeln. Es ergeben sich gemischte Reihen- und Integraldarstellungen.