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Über das Verhalten der Integrale einer linearen Differentialgleichung bei großen Werten der unabhängig Variabeln. (German) JFM 46.0665.01

Wenn die Koeffizienten der Differentialgleichung \[ y^{(n)}+f_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+f_n(x)y=0 \] für \(x\geqq x_0\) stetig sind und wenn die Grenzwerte \(\lim_{x=\infty}f_\lambda(x)=a_\lambda\) existieren, so hängt das infinitäre Verhalten der Integrale für \(x\to\infty\) ab von den Wurzeln der charakteristischen Gleichung \[ \rho^n+a_1\rho^{n-1}+\cdots+a_n=0. \] Ist \(\rho_0\) eine von diesen Wurzeln und haben alle Wurzeln ungleiche reelle Teile, so wurde bereits früher (J. für Math. 142, 254; F. d. M. 44, 370 (JFM 44.0370.*), 1913) die Existenz eines Integrals bewiesen, für welches \[ \lim_{x=\infty}\frac{y'}{y}=\rho_0, \lim_{x=\infty}\frac{y''}{y}= \rho_0^2, \dots,\lim_{x=\infty}\frac{y^{(n)}}{y}=\rho_0^n \] ist. Jetzt wird gezeigt, daßdas auch schon gilt, wenn \(\rho_0\) eine einfache Wurzel ist, deren reeller Teil von den reellen Teilen der andern verschieden ist (unter den andern dürfen aber gleiche sein). Ferner wird für die inhomogene Gleichung \[ y^{(n)}+f_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+f_n(x)y=u(x), \] wenn \(\lim_{x=\infty}\frac{u'(x)}{u(x)}=\sigma\) ist, und \(\sigma\) einen kleineren reellen Teil hat als jede Wurzel der charakteristischen Gleichung, die Existenz eines Integrals nachgewiesen, für welches \[ \lim_{x=\infty}\frac{y'}{y}=\sigma, \lim_{x=\infty}\frac{y''}{y}= \sigma^2, \dots,\lim_{x=\infty}\frac{y^{(n)}}{y}=\sigma^n \] ist, und zwar gibt es nur ein solches Integral.

Citations:

JFM 44.0370.*
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