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The Gamma function in the integral calculus. (English) JFM 46.0564.02

In Ergänzung der von ihm übersetzten Jensenschen Abhandlung (vgl. S. 563) stellt der Verf. die Theorie der Gammafunktion vom Standpunkte der Integralrechnung dar (Jensen benutzt ausschließlich unendliche Reihen und Produkte). Der Verf. gibt keine wesentlich neuen Resultate, aber stellt das Bekannte außerordentlich klar und kurz daf, in übersichtlicher Anordnung und mit sehr sorgfältigen Quellenangaben. Um die Darstellung möglichst elementar zu gestalten, gibt er im Kap. I die nötigen Hilfsmittel der Integralrechnung, von der Definition des bestimmten Integrals ausgehend bis zu den Fourierschen Reihen und zur Euler-Maclaurinschen Summenformel. Von den beiden folgenden Kapiteln leasen wir das ausführliche Inhaltsverzeichnis folgen:
Kap. II. Bestimmte Integrale für die Gammafunktion, abgeleitet aus dem sie definierenden unendlichen Produkt. – Darstellung, der Gammafunktion durch das Eulersche Integral zweiter Art. Integralausdrücke für \(P(s)\) und \(Q(s)\). – Die hypergeometrische Reihe \(F(\alpha,\beta,\gamma,s)\) und ihr Wert für \(s=1\). Das Eulersche Integral erster Art. – Anwendung der Eulerschen Summenformel auf \(\log\Gamma(s+a)\) und \(\psi(s+a)\). – Integralausdrücke für \(\log\Gamma(s)\) und \(\psi(s)\) nach Cauchy und Gauß. – Das Raabesche und das Binetsche Integral. – Das verallgemeinerte Schaarsche Integral. – Die Soninsche Form des Restglieds der Stirlingschen Formel. – Die trigonometrischen Reihen von Kummer und Lerch.
Kap. III. Die Gammafunktion, definiert durch ein bestimmtes Integral. – Die Eulerschen Integrale erster und zweiter Art und ihre elementaren Eigenschaften. – Integralausdrücke für \(\psi(s)\). Produktausdruck für \(\Gamma(s)\). – Integralausdrücke für \(\log\Gamma(s)\). Das Raabesche Integral. – Das Binetsche Integral; asymptotische Entwicklung von \(\log\Gamma(s+a)\) und \(\psi(s+a)\). – Die Integrale von Schaar und Landsberg. – Die trigonometrische Reihe von Kummer.
Betreffend die Behandlung von \(\Gamma(s)\) mit Hilfe komplexer Integration beschränkt sich der Verf. auf Literaturnachweise, wegen Platzmangel. Die Arbeit ist als Separatabdruck käuflich.

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