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Über die Fourierschen Koeffizienten der nach Riemann integrierbaren Funktionen. (German) JFM 46.0444.02

Es sei \(f(x)\) eine im Intervall \((0,2\pi)\) definierte, beschränkte, meßbare Funktion mit den Fourierschen Koeffizienten \[ a_0,a_1,\overline a_1,a_2, \overline a_2,\ldots. \tag{1} \]
Der Verf. untersucht die Frage, wann (1) die Fourierschen Koeffizienten einer nach Riemann integrierbaren Funktionen darstellen, d. h. wann unter den zu \(f(x)\) äquivalenten Funktionen sich nach Riemann integrierbare Funktionen befinden.
Zum Zweck dieser Untersuchung definiert er eine Funktion \(\varphi(\chi)\) als “Unterfunktion” von \(f(x)\), wenn fast überall \(\varphi<f\) ist; und entsprechend für die “Oberfunktion”. Es gibt zu \(f(x)\) eine größte nach unten halbstetige Unterfunktion \(\chi(x)\) und eine kleinste nach oben halbstetige Oberfunktion \(X(x)\) und zwar sind diese zugleich die Limesfunktionen gewisser zu \(f(x)\) äquivalenter Funktionen. Daher gibt es dann und nur dann nach Riemann integrierbare und zu \(f(x)\) äquivalente Funktionen, wenn \(\chi(x)\) und \(X(x)\) zueinander äquivalent sind; in diesem Fall müssen die konstanten Glieder der Fourierschen Entwicklungen von \(\chi(x)\) und \(X(x)\) übereinstimmen.
Die Bestimmung dieser konstanten Glieder wird nun mit ähnlichen Methoden vorgenommen, wie sie der Verf. zusammen mit L. Fejér früher [Palermo Rend. 32, 218–239 (1911; JFM 42.0430.01)] entwickelt hat, um die Fourierschen Koeffizienten der beschränkten Funktionen zu charakterisieren. Damit sind dann notwendige und hinreichende Bedingungen gefunden dafür, daß (1) die oben geforderte Eigenschaft besitzt. (IV 3 C.)

MSC:

42A16 Fourier coefficients, Fourier series of functions with special properties, special Fourier series

Citations:

JFM 42.0430.01
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Full Text: DOI EuDML