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Lebesguessches Maß und Analysis Situs. (German) JFM 46.0292.02

Das Lebesguesche Maß ist bekanntlich keine Invariante der Analysis situs: man kann Mengen von positiven Maß auf Nullmengen ein-eindeutig und stetig abbilden. Der Verf. untersucht nun, um “für das Lebesguesche Maß die vollständige Abwesenheit von für die Analysis situs invarianten Eigenschaften darzutun”, den Fall der ebenen Punktmengen eingehend und stellt insbesondere fest, in welchem Umfang das Maß der abgeschlossenen Mengen bez. der inneren und äußeren Grenzmengen schwanken kann, wenn diese Mengen umkehrbar eindeutigen und stetigen Transformationen unterworfen werden. Er gelangt bezüglich der abgeschlossenen Mengen zu folgenden Resultat: Sei \(k\) ein abgeschlossenes Quadrat der Seitenlänge 1, und \(C\) eine in \(k\) enthaltene, im Innengebiet von \(k\) nicht-abzählbare abgeschlossene Punktmenge; bei den eindeutigen und stetigen Transformationen von \(k\) in sich schwankt das Maß der Punktmengen, in welche \(C\) übergeht, zwischen 0 (inklusive) und 1 (exklusive), wenn \(C\) nirgends dicht ist, zwischen 0 (exklusive) und 1 (exklusive), wenn \(C\) weder nirgends dicht noch überall dicht ist. – Ein ähnliches Theorem stellt der Verf. bezügl. Der inneren und äußeren Grenzmengen auf. (V 2.)

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References:

[1] Man vergleiche folgende Äußerung Borels, welche mir auf eine entgegengesetzte Vermutung hinzuweisen scheint: ?Les ensembles qui ne sont pas de mesure nulle sont formés d’une matière simple, avec des ensembles continus positifs ou négatifs; ils sont hétérogènes au continu; les ensembles de mesure nulle peuvent être, au contraire, sensiblement homogènes au continu, c’est-à-dire identiques à eux-mêmes dans des intervalles aussi petits que l’on veut... la notion d’ensemble de mesure nulle est primordiale? (Bull. Soc. Math. de France 41 (1913), S. 17).
[2] Beispiele topologischer Äquivalenz von linearen Nullmengen und Komplementärmengen von Nullmengen finden sich u. a. in einem Schreiben von mir an Herrn Blumenthal aus dem Jahre 1913; doch waren solche damals auch anderen Mathematikern, z. B. Herrn Bohl, bekannt; das erste in der Literatur auftretende Beispiel dürfte sich finden bei Carathéodory, Vorlesungen über reelle Funktionen, § 337.
[3] Schoenflies, Bericht über die Mengenlehre II, S. 258, 259.
[4] Ibid. Schoenflies Bericht über die Mengenlehre II, S. 257.
[5] Schoenflies, Bericht über die Mengenlehre II, S. 209-212. Vgl. auch meine Bemerkung dazu in Math. Ann. 68, S. 427, 428.
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