×

Über ternäre diophantische Gleichungen dritten Grades. (German) JFM 46.0205.05

Zürich Naturf. Ges. 62, 207-229 (1917).
Es seien \(x,y,z\) Dreieckskoordinaten und \[ f(x,y,z)=0 \] die Gleichung einer doppelpunktlosen Kurven dritter Ordnung; \(f(x,y,z)\) besitze Koeffizienten, die einem algebraischen Zahlkörper angehören. Ein Punkt heiße rational, wenn \(x,y,z\) Zahlen dieses Körpers proportional sind. Verbindet man zwei rationale Punkte durch eine Gerade, so ist der dritte auf ihr liegende Punkt wieder rational. Jedem Punkt der Kurve entspreche ein elliptischer Parameter \(u\), einem der 9 Wendepunkte der Wert \(u=0\). Ein System von \(n\) rationalen Punkten der Kurve bilde eine vollständige Punktgruppe, wenn aus zwei derselben wieder ein Punkt der Gruppe erhalten wird. Der Verf. bestimmt die elliptischen Parameter der vollständigen Gruppe einer Kurve. Ist die Kurve reell, so ist die Gruppe der reellen Punkte zu bestimmen.
Der Verf. stellt die Frage, ob umgekehrt die Kurve so gewählt werden kann, daß sie eine vorgeschriebene endliche Anzahl von rationalen Punkten besitzt. Es ergibt sich: \(y^2=x^3+ax+b\) stellt die allgemeinste Kurve dritter Ordnung dar, die einen einzigen rationalen Punkt \((\infty)\) besitzt, falls die rationalen Zahlen \(a,b\) so gewählt werden, daß \[ \sqrt{x^3+ax+b} \] für jeden rationalen Wert \(x\) irrational ist. \(x^3+y^3+2z^3=0\) besitzt nur zwei, \(x^3+y^3+z^3=0\) und \(x^2y+y^2z+z^2x=0\) nur drei rationale Punkt. Der Verf. erledigt noch den Fall von vier rationalen Punkten und stellt einige Sätze auf im Falle, daß unendlich viele rationale Punkte auf der Kurve liegen.