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Über den symbolischen Kalkül von Emil Weyr auf den elliptischen Kurven. (German) JFM 45.0819.02

E. Weyr (F. d. M. 25, 964 (JFM 25.0964.*), 1894) hat für die Geometrie auf den ebenen elliptischen Kurven dritter Ordnung einen symbolischen Punkt-Kalkül entwickelt, den Czuber a. a. O. besprochen hat. Hierbei wird eine lineare Vollschar \(g_n^{n-1}\) der Kurve durch eine ihrer Punktgruppen, und eine Punktgruppe durch das “Produkt” ihrer Punkte dargestellt. Es fehlte aber bisher eine Begründung des Verfahrens. Eine solche wird hier gegeben vermöge einer Reduktion auf eine bei höheren Kurven längst bekannte einfachere symbolische Methode, wobei die symbolischen Rechnungen durch wirkliche ersetzt werden; die Weyrsche Methode gilt dann überhaupt für jede elliptische Kurve. Liegen auf einer algebraischen Kurve \(C\) zwei Vollscharen \(g_n^r\) und \(g_{n'}^{r'}\) vor, so sind alle Gruppen von \(N = n + n'\) Punkten, die durch Vereinigung je einer Gruppe beider Scharen entstehen, in einer Vollschar \(g_N^R\) enthalten, der “Summe”: \[ (1)\quad g_N^R = g_n^r + g_{n'}^{r'}. \] Ist eine Gruppe von \(g_n^r\) in irgendeiner Gruppe von \(g_N^R\) enthalten, so auch jede weitere Gruppe von \(g_n^r,\) und es existiert eine dritte Vollschar \(g_{n'}^{r'} (n' = N - n)\) derart, daß(1) erfüllt ist; diese heißt die “Differenz”: \[ (2)\quad g_{n'}^{r'} = g_N^R - g_n^r. \] Sind \(G_n, G_{n'}, G_N\) beliebige Gruppen der Vollscharen \(g_n^r, g_{n'}^{r'} g_N^R,\) so kann man statt (1) und (2) symbolisch schreiben \[ (1')\quad G_N=G_n +G_n',\;(2')\quad G_{n'}=G_N-G_n. \] Im besonderen ist auf einer elliptischen Kurve die Dimension einer Vollschar der Ordnung \(n\) gleich \(n -1\), so daßjeder Punkt der Kurve eine Vollschar \(g_1^0\) bildet. Somit hat die symbolische Summe beliebig vieler Punkte und Punktgrappen der Kurve, sowie die Differenz \(G_N-G_n (N > n)\) eine ganz bestimmte Bedeutung; die Punkte der Kurven lassen sich ebenso addieren, subtrahieren und mit ganzen positiven Zahlen multiplizieren, wie wirkliche Größen. Man bediene sitzt der Ausdrücke Produkt bzw. Quotient von Punktgruppen anstatt Summe bzw. Differenz, so läßt sich eine andere symbolische Rechnung auf der Kurve einführen; diese symbolische Methode stimmt dann ganz mit der Weyrschen überein.
Die von Clebsch herrührende Parameterdarstellung der elliptischen Kurve gestattet die Ersetzung der ersten symbolischen Rechnung durch eine wirkliche.
Die Darstellung der Punktscharen auf der Kurve durch volle ganze Divisorscharen, wie sie Hensel-Landsberg eingeführt haben, liefert eine mit dem. Weyrschen Verfahren analoge Methode.
Ein Divisor wird durch das Produkt seiner Primdivisoren dargestellt. Die einzelnen Primdivisoren charakterisieren die entsprechenden Punkte der zur Kurve gehörigen Riemannschen Fläche, also auch die entsprechenden Punkteder Kurve.

Citations:

JFM 25.0964.*
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Full Text: EuDML