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Sur l’extension d’un théorème de Laguerre. (French) JFM 45.0649.02

Die Polynome \(P_n (x) = a_0 + a_1 x +\cdots + a_n x^n (a_0 \neq, n =1, 2 \dots)\) mögen die Wurzeln \(x_{1n},\dots, x_{nn}\) haben und \(\sum_1^n \frac 1{| x_{\nu n}| ^\varrho}\) möge für ein ganzzahliges positives \(\varrho\) unterhalb einer endlichen Schranke bleiben; dann ist \(\lim_{n=\infty} P_n(x) = a_0+ a_1x a_2 x^2 + \cdots\) eine ganze Funktion vom Geschlechte \(p\leqq \varrho.\left( \right. \) Sind alle \(x_{\nu n}\) reell, so ergibt sich sofort \(\varrho = 2\) und \( \left. \sum_1^n \frac 1{x_{\nu n}^2} = \frac {a_1^2-2a_0 a_2}{a_0^2}\right).\) Der nämliche Satz gilt für allgemeinere Polynomenfolgen \(P_n (x) = a_{0n} + a_{1n} x + \cdots + a_{nn} x^n,\) falls nur noch vorausgesetzt wird, daß\(\lim_{n=\infty} P_n (x)\) in einem Gebiete existiert.

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Full Text: Gallica