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Über eine Anwendung der Theorie quadratischer Formen mit unendlichvielen Variabeln auf ein Randwertproblem der Potentialtheorie. (Polish) JFM 45.0574.03

Sei \(S\) der Einheitskreis in der Ebene der Polarkoordinaten \(r=\sqrt{\xi^2+\eta^2}\), \(s=\arccos \frac{\xi}{r}=\text{arc}\sin \frac{\eta}{r};\;T\) sei das von \(S\) begrenzte endliche Gebiet, \(l(s),k(s),h(s)\) seien gewisse auf \(S\) erklärte abteilungsweise stetige Funktionen, \(\lambda\) ein Parameter.
Das Problem, diejenigen \(T\) und auf \(S\) stetige, in \(T\) reguläre Potentialfunktion \(u(\xi,\eta)\equiv u(r,s)\) zu bestimmen, die auf \(S\) der Bedingung \[ \frac{\partial u}{\partial r}+lu-\lambda ku=h \] genügt, läßt sich bekanntlich auf die Auflösung einer linearen Integralgleichung zurückführen. Ist das Vorzeichen von \(k(s)\) beliebig, so gelagt man, wenn beispielweise \(l(s)=0\) vorangesetzt wird, zu einer polaren Integralgleichung. Weiterreichende Sätze ergibt eine direkte Anwendung der Methode unendlichvieler Variablen in ähnlicher Weise wie in der auf S. 567 besprochenen Abhandlung. Man gewinnt so u. a. folgende Sätze:
Es sei \(f(s)\) eine auf \(S\) erklärte stetige Funktion \[ f(s)\sim\sum_{i}^{1\dots\infty}f_i \sin is +\sum_{i}^{1\dots\infty}f_i' \cos is, \] die so beschaffen ist, daß die Reihe \(\varSigma i(f_i^2+f_i^{'2})\) konvergiert. Es sei \(f(\xi,\eta)\) diejenige in \(T\) und auf \(S\) stetige, in \(T\) reguläre Potentialfunktion, die auf \(S\) den Wert \(f(s)\) hat. Die Reihe \(\varSigma i(f_i^2+f_i^{'2})\) konvergiert, wenn das Dirichletsche Integral \(\iint_T \left[ \left( \frac{\partial f}{\partial\xi} \right)^2+\left( \frac{\partial f}{\partial \eta} \right)^2\right] d\xi d\eta\) existiert. Es seien \(\lambda_{\alpha},\psi_{\alpha}(s)\) die Eigenwerte und die normierten Eigenfunktionen des Problems: \[ \int_0^{2\pi}k(s)[\varphi_{\alpha}(s)]^2ds= \frac{\lambda_{\alpha}}{|\lambda_{\alpha}|},\;\int_0^{2\pi}k(s)\varphi_{\alpha}(s)\varphi_{\beta}(s)ds=0\;(\alpha\neq\beta). \] Es sei schließlich \[ \frac{\partial^2}{\partial \xi^2}\varphi_{\alpha}(\xi,\eta)+\frac{\partial^2}{\partial \eta^2}\varphi_{\beta}(\xi,\eta)=0\;{text{in}}\;T,\;\varphi_{\alpha}(xi,\eta)=\varphi_{\alpha}(s)\;{\text{auf}}\;S, \] \(l(s)\equiv 0,\;k(s)\) höchstens in einer Nullmenge gleich Null und \(k_0=\int_0^{2\pi}k(s)ds\neq 0\). Dann gilt die Entwicklung \[ f(\xi,\eta)- \frac{1}{k_0}\;\int_0^{2\pi} k(s)f(s)ds=\sum_{\alpha}^{1\dots\in fty} \frac{\lambda_{\alpha}}{|\lambda_{\alpha}|} \varphi_{\alpha}(\xi,\eta)\int_0^{2\pi}k(s)f(s) \varphi_{\alpha}(s)ds. \] Sie konvergiert für alle \((\xi,\eta)\) in jedem ganz im Innern von \(T\) gelegenen abgeschlossen Gebiete unbedingt und gleichmäßig. Ist auf \(S\) durchweg \(k(s)>0\) (oder \(k(s)<0\)), so gilt die Entwicklung, wie sich unter Zuhilfenahme der Theorie linearer Integralgleichungen leicht zeigen läßt, für alle auf \(S\) stetigen \(f(s)\).
Sei jetzt \[ F(s*)=\int_0^{2\pi}G^{\text{II}}(s*,s)k(s)f(s)ds, \] unter \(G^{\text{II}}(\xi,\eta;x,y)\) die Greensche Funktion zweiter Art verstanden: \[ \frac{\partial^2G^{\text{II}}}{\partial x^2}+\frac{\partial^2G^{\text{II}}}{\partial y^2}=0,\;\frac{\partial G^{\text{II}}}{\partial n}=\frac{2\pi k(s)}{k_0},\;\int_0^{2\pi}G^{\text{II}}(\xi,\eta;s)k(s)ds=0. \] Es gilt \[ F(s*)=\sum_{\alpha}^{1\dots\infty} \frac{\lambda_{\alpha}}{|\lambda_{\alpha}|} \varphi_{\alpha }(s^*) \int_0^{2\pi} k(s)F(s)\varphi_{\alpha}(s)ds. \] Die unendliche Reihe rechterhand konvergiert unbedingt und gleichmäßig. Die Theorie der linearen Integralgleichungen liefert einen erheblich weniger weitreichenden Satz.

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Full Text: EuDML