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Über nicht-lineare Integralgleichungen vom Volterraschen Typus. (German) JFM 45.0535.01

Es handelt sich um Integralgleichungen der Form \[ (1)\quad w(t)=f_0(t)\sum_{n=2}^{\infty}f_n(t)w^n(t)+\int_0^t\sum_ {n=1}^{\infty}g_n(t,\tau)w^n(\tau)d\tau \] für die Unbekannte \(w(t)\), wobei \(w^n(t)\) die durch Iterierung des Volterraschen Kernes \(w(t-\tau)\) entstehenden Funktionen bedeuten: \[ w^n(t)=\int_0^tw(\tau)w^{n-1}(t-\tau)d\tau,\;w^1(t)=w(t), \] auf die Verf. in speziellen Fällen im J. f. Math. 144, 167 und 146, 95 durch die Laplace Integraltransformation geführt worden ist. Ist für \(0\leqq\tau\leqq t\leqq r,\;| f_n|\leqq {\mathfrak A}\cdot\varrho^n,\;| g_n|\leqq {\mathfrak B}\cdot\sigma^n\), so wird durch sukzessive Approximationen die Lösung auf die einer majorisierenden Integralgleichung derselben Form zurückgeführt, und deren Lösung wird als assoziierte Funktion \(\varSigma {\mathfrak C}_n\, \frac{t^{n-1}}{(n-1)!}\) zu der die Gleichung \[ (2)\qquad y={\mathfrak U}x+\sum_{n=2}^{\infty}{\mathfrak A}\varrho^ny^n+\sum_{n=1}^{\infty}{\mathfrak B}\sigma^nxy^n \] lösenden Potenzreihe \(y=\varSigma {\mathfrak C}_nx^n\) gewonnen.
Nach der gleichen Methode wird die Integrodifferentialgleichung \[ (3)\quad t\;\frac{dw(t)}{dt}= f_0(t) +\sum_{n=1}^{\infty} f_n(t)w^n(t)+\int_0^t \sum_{n=1}^{\infty}g_n(t,\tau)w^n(\tau)d\tau \] ausführlich behandelt, wobei an Stelle von (2) eine Differentialgleichung erster Ordnung tritt.
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Full Text: EuDML