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Sur la convergence et sur la sommation par les moyennes de Cesàro de \(\lim_{z=\infty}\int_a^zf(x)\cos xydx\). (French) JFM 45.0459.01

Hauptzweck des Aufsatzes ist der Beweis des Satzes: Wenn \(f(x)\) eine reelle, in dem Intervalle \((a,\infty)\), \(a>1\) definierte Funktion ist, wenn ferner \(\int^{\infty}_a f(x)^2\log^2 x dx\) endlich ist, so konvergiert \[ \lim_{z=\infty}f(x)\cos xy dx \] fast überall in dem Intervalle \(-\infty <y<\infty \) und stellt in diesem Intervalle eine Funktion \(F(y)\) von integrierbarem Quadrate dar, d. h. so, daß \(\int^{\infty}_{-\infty} [F(y)]^2 dy\) existiert. In einer früheren Arbeit über denselben Gegenstand (F. d. M. 44, 347, 1913) hatte der Verf. diesen Satz als wahrscheinlich ausgesprochen. Hardy hat einen ähnlichen Satz für die Fourierschen Reihen bewiesen (F. d. M. 44, 302, 1913) und die Aufmerksamkeit des Verf. auf den Gebrauch seines Verfahrens in dem Falle der Fourierschen Integrale für seine Aufgabe gelenkt. Die Hardysche Methode wird hier benutzt. Zu diesem Zwecke wird das Cesàrosche Summationsverfahren auf die Fourierschen Integrale ausgedehnt, und es werden für sie die auf die Fourierschen Reihen bezüglichen ähnlichen Sätze von Fejér und Lebesgue bewiesen. Diese in einer früheren Arbeit vom Verf. angedeutete Ausdehnung (F. d. M. 41, 472, 1910) bietet an sich ein eigenes Interesse.

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References:

[1] M. Plancherel, Zur Konvergenztheorie der Integrale 315-2 [Math. Ann. 74 (1913), p. 573?578, p. 578]. A la page 578, lignes 10 et 11, il fant lire log2 x au lieu de logx. · JFM 44.0347.02 · doi:10.1007/BF01456914
[2] G. H. Hardy, On the summability of Fourier’s series [Proc. Lond. Math. Soc. (2) 12 (1913), p. 365?372]. · JFM 44.0302.01 · doi:10.1112/plms/s2-12.1.365
[3] M. Plancherel, Contribution à l’étude de la représentation d’une fonction arbitraire par des intégrales définies [Rend. Circ. Mat. Palermo 30 (1910), p. 289?335, p. 332?335]. · JFM 41.0472.01 · doi:10.1007/BF03014877
[4] Cf. H. Lebesgue, Leçons sur les séries trigonométriques (Paris, Gauthier-Villars, 1906), p. 15; Ch. J. de la Vallée-Poussin, Cours d’Analyse infinitésimale1 2e édition (Paris, Gauthier-Villars, 1912), t. 2, p. 115, 116.
[5] H. Lebesgue, Recherches sur la convergence des séries de Fourier [Math. Ann. 64 (1905), p. 251?280, p. 274]; Sur les intégrales singulières [Annales de Toulouse (3) 1 (1909), p. 25?117, p. 88?90]. Cf. encore Ch. J. de la Vallée-Poussin, Cours. d’Analyse infinitésimale, 2e édition (Paris, Gauthier-Villars, 1912), t. 2, p. 163. · JFM 36.0330.01 · doi:10.1007/BF01457565
[6] loc. cit., p. 315.
[7] Cf. ma Note: Sur la convergence des séries de fonctions orthogonales [Comptes Rendus 157 (2e semestre 1913), p. 539?542].
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