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Neuer Beweis eines analytischen Satzes des Herrn de la Vallée Poussin. (German) JFM 45.0309.01

Es handelt sich um einen Satz der klassischen “Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers”, Teil 4: “Les nombres premiers représentables par une forme quadratique de déterminant positif” (Brux. S. sc. \(21_2\), 251-368, 1897). “Im Teil 4 geht alles nach dem Paradigma des Teiles 3 ganz analog bis auf des Beweis eines analytischen Hilfssatzes, der an sich von großem Interesse ist und den Hauptgegenstand meinerheutigen Abhandlung bildet. Dieser Hülfssatz ist für \(D<0\) (auf Grund der Theorie der Thetafunktionen) so leicht und für \(D>0\) so schwer zu beweisen, daß Teil 3 der Arbeit von Herrn de la Vallée Poussin 35 Seiten, aber Teil 4 (trotz vieler auf Grund des Teiles 3 erlaubter Weglassungen) 92 Seiten lang ist, welche fast ganz von dem Beweise des erwähnten Satzes ausgefüllt sind.” De la Vallée Poussin sagt in der Einleitung: “Diese ganze lange Analyse strebt einem einzigen Ziele zu, dem Beweise das Theorems der Nr. 100, dessen Einfachheit einen Gegensatz bildet zu den Schwierigkeiten, auf die sein Beweis stößt.” Es handelt sich um folgendes.
Es sei \(f=ax^2+2bxy+cy^2\), wo \(a>0\). Wir setzen für \(\mathfrak R(s)>1\) \[ Q(s)=\sum_{x,y}\;\frac{1}{(ax^2+2bxy+cy^2)^s}. \] Allein die Doppelsumme erstreckt sich nicht mehr, wie in dem Falle negativer Deteminanten, auf alle positiven und negativen Werte von \(x\) und \(y\), die \(f\) ungerade und teilerfremd zu \(D\) machen; sie erstreckt sich nur auf solche von jenen Werten, die außerdem die beiden Bedingungen erfüllen \(y\overset{=}> 0,\;ax+by>yT/U\) wo \(T,U\) die kleinsten positiven Lösungen der Pellschen Gleichung \(T^2-DU^2=1\) sind. Die der Formel für negative Determinanten entsprechende und zu beweisende Formel für positive Determinanten lautet: \[ (4)\quad Q(s)=\frac{\varphi(2D)}{4D\sqrt{D}} \log(T+U\sqrt{D})\;\frac{1}{s-1}+\vartheta(s), \] wo \(\vartheta(s)\) noch eine in der ganzen Ebene ganze Funktion bezeichnet, welche eine gewisse Bedingung \(\Theta\) erfüllt. Für diesen Satz gibt der Verf. einen neuen Beweis, der relativ sehr kurz ist. Statt aber auf (4) zu zielen, beweist er eine mit (2) bezeichnete Relation, aus der (4) und auch zugleich der entsprechende Satz aus Teil 5 unmittelbar folgt, und welche zu diesem Zweck auch bei de la Vallée Poussin, eben durch seine lange Beweiskette, entwickelt ist.
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Full Text: EuDML