×

Les ensembles de mesure nulle. (French) JFM 44.0556.02

Eine Punktmenge \( M \) wird “regulär” genannt, wenn sie sich in folgender Weise definieren läßt: Es sei \( A_1, A_2, \dots, A_n, \dots\) eine abzählbare Punktmenge, die als “Menge der Fundamentalpunkte” bezeichnet werden möge, und \( C_1^{(h)},C_2^{(h)}, \dots, C_n^{(h)}\) für jedes ganze positive \(h\) eine abzählbare Menge von Quadraten, deren Flächeninhalte eine konvergierende Reihe bilden, während \(C_n^{(h)}\) in seinem Inneren \(C_n^{(h+1)}\) enthält und sich für festes \( n \) und unbeschränkt wachsendes \(h\) auf \(A_n\) zusammenzieht. Wenn noch die Vereinigungsmenge von \(C_1^{(h)}C_2^{(h)}, \dots\) mit \(E_h\) bezeichnet wird, so wird \(M\) als der gemeinsame Durchschnitt aller \( E_h \) definiert. Der Verf. zeigt zunächst, daßjede Punktmenge vom Maße Null in einer regulären Punktmenge enthalten ist, wendet sich darauf zum Studium derjenigen regulären Punktmengen, welche in einem Bereiche überall dicht liegen, und stellt folgendes Lemma auf: “Es seien \( C \) und \( C' \) zwei kongruente Kreise, \( A \) und \( B \) zwei abzählbare Punktmengen, von denen die erste auf \( C \) und im Inneren von \( C, \) die zweite auf \( C' \) und im Inneren von \( C' \) überall dicht liegt, und \(\varepsilon\) eine beliebig klein vorgegebene positive Zahl; alsdann lassen die Punkte von \( A \) und \( B \) sich derart numerieren, daßfür jedes \(p\) und jedes \(q:\) \(1 - \varepsilon <\frac {A_pA_q}{B_pB_q}< 1 + \varepsilon.\)” Der von diesem Lemma gegebene Beweis ist nicht stichhaltig: damit die S. 9 des Aufsatzes entwickelte Konstruktion sich unbeschränkt fortsetzen lasse, genügt es nicht, bei jedem Schritt die Bedingung zu erfüllen, daßdie Verhältnisse der Längen der sich entsprechenden Seiten des bis dahin konstruierten Bereichs zwischen \((1 - \varepsilon_1)\dots (1 - \varepsilon_n)\) und \((1 + \varepsilon_1) \dots (1 +\varepsilon_n)\) liegen; denn wenn für das Verhältnis der Abszissen- und Ordinatendifferenzen von zwei willkürlichen sich entsprechenden Eckpunktepaaren der vollständigen Bereichsysteme nicht dasselbe der Fall ist, kann es sehr gut vorkommen, daßbei Fortsetzung der Konstruktion auch den vom Verf. vorgeschriebenen Bedingungen nicht mehr genügt werden kann. Anders ausgedrückt, der Verf. beachtet bei der Wahl eines neuen Punktes \(A_n\) nur die Abszisse und die Ordinate von \(A_n,\) während in Wirklichkeit die Abszissen der Punkte des Kreisumfanges, welche dieselbe Ordinate wie \(A_n,\) und die Ordinaten der Punkte des Kreisumfanges, welche dieselbe Abszisse wie \(A_n\) besitzen, auf die Fortsetzbarkeit der Konstruktion ebensogut von Einflußsind. Das Lemma ist indessen richtig und kann leicht bewiesen werden mittels der Abbildung, welche Ref. zur Begründung des am Schlusse des vorstehenden Referates formulierten Theorems benutzt hat Aus dem Lemma zieht der Verf. die Folgerung, daßzu einer willkürlichen regulären Punktmenge \( R, \) deren Menge der Fundamentalpunkte \( B \) im Inneren von \( C \) überall dicht liegt, eine reguläre Punktmenge \(S\) existiert, deren Menge der Fundamentalpunkte \( A \) im Inneren von \( C \) überall dicht liegt, und welche der Meng \( R \) eineindeutig und stetig mit einem zwischen \(1 - \varepsilon\) und \(1 + \varepsilon\) schwankenden Ähnlichkeitsverhältnis entspricht. Im Schlußparagraphen schlägt. der Verf. eine auf das asymptotische Dekrement der einschließenden Intervalle gegründete Klassifizierung der regulären Punktmengen vor und zieht die physikalische Folgerung, daßdie Hypothese, die Gleichgewichtslagen der Schwerpunkte der Moleküle eines festen Körpers bilden eine überall dichte Punktlage, gleichwertig ist mit der Annahme, daßdieselben mit der Menge der rationalen Punkte zusammenfallen.

PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI EuDML