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Das archimedische Prinzip und der Pascalsche Satz. (German) JFM 44.0546.03

Die historisch begründete metrische Fassung des archimedischen Prinzips ist ein spezieller Fall des allgemeinen projektiven: Es sei \( E_1\) ein innerer Punkt der Strecke \( E_0 E, E_2 \) sei der vierte harmonische zu \( E_0\) in bezug auf \( E_1E; \) allgemeiner sei \( E_{n+1}\) der vierte harmonische zu \( E_{n-1}\) in bezug auf \( E_n E. \) Dann gehört jeder vorgelegte Punkt \(E'\) der Strecke \( E_0E \) bei hinreichend hohem (positiv ganzzahllgem) \( n \) der Strecke \(E_0E_n\) an.
Der Verf. zeigt unter Voraussetzung aller Axiome der Verknüpfung und Anordnung, daßdieses Prinzip nur ein einziges Mal vorausgesetzt zu werden braucht worauf es notwendig allgemeine Gültigkeit haben muß also: Wenn das archimedische Prinzip für eine einzige gegebene Strecke \( E_0 E \) mit einem einzigen auf ihr gegebenen Einheitspunkt \(E_1\) gilt, so gilt es für jede Strecke mit jedem Einheitspunkt auf ihr in der gesamten Ausdehnung des Raumes. Der Pascal sche Satz gilt auf projektiver Grundlage notwendig noch im (reellen) algebraischen Raume; aber nicht mehr, sobald bei aufgehobenem archimedischen Prinzip auch nur eine einzige Transzendente zugelassen wird.

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Full Text: DOI EuDML

References:

[1] Vgl. Hilbert: ?Grundlagen der Geometrie?, S. 22.
[2] Klein: ?Gutachten etc.? Math. Ann. 50.
[3] Vgl. Lindemann: ?Vorlesungen über Geometrie?, II, 1; Hilbert, l. c. Kap. V; Schur: ?Grundlagen der Geometrie?, § 4.
[4] Pasch: ?Vorlesungen über neuere Geometrie?, §§ 5-9. · JFM 14.0498.01
[5] Über diese Möglichkeit vgl. Hilbert, l. c. Kap. VI. Hilbert: ?Grundlagen der Geometrie?, S. 22.
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