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Démonstration nouvelle d’un théorème fondamental sur les suites de fonctions monogènes. (French) JFM 44.0489.02

Es handelt sich um den Beweis eines Satzes, dessen Ursprung auf Weierstraß zurückgeht (Zur Funktionenlehre. Werke 2, 201), und der seine endgültige Form Vitali verdankt (F. d. M. 35, 397 (JFM 35.0397.*), 1904). Man betrachte eine unendliche Folge von monogenen Funktionen: \(f_1(x), f_2(x),\dots, f_n(x),\dots,\) die folgenden drei Bedingungen genügen:
1. Die Funktionen \(f_n(x)\) sind sämtlich im Innern eines zusammenhängenden Gebietes \(T\) holomorph.
2. Ist \(T'\) ein Bereich, der im Innern von \(T\) liegt und keinen Punkt mit der Begrenzung von \(T\) gemeinsam hat, so ist die Gesamtheit der Funktionen \(f_n(x)\) beschränkt, das heißt, zu jedem Bereich \(T'\) der angegebenen Beschaffenheit gehört eine positive Zahl \(G'\), sodaß im Innern und auf der Begrenzung von \(T'\) die Ungleichheiten gelten: \[ | f_n(x)| <G'\quad (n = 1, 2, 3,\dots). \] 3. Die Folge der Funktionen \(f_n(x)\) konvergiert gegen eine bestimmte, endliche Grenze in jedem Punkte einer gewissen unendlichen Menge \(E\) von Punkten, die zum Bereich \(T\) gehören und wenigstens einen Häufungspunkt \(x_0\) im Innern von \(T\) haben.
Unter diesen Voraussetzungen konvergieren die Funktionen \(f_n(x)\) im Innern von \(T\) gegen eine Funktion \(F(x)\), die im Innern von \(T\) holomorph ist. Ferner konvergiert im Innern von \(T\) die Folge der \(p\)-ten Ableitungen der Funktionen \(f_n(x)\) gegen die \(p\)-te Ableitung von \(F(x)\). Endlich ist die Konvergenz für die Folge selbst wie für die daraus abgeleiteten Folgen für jeden Bereich \(T'\) gleichmäßig.
Die früheren Beweise des Satzes von Vitali (vgl. Carathéodory und Landau, F. d. M. 42, 275 (JFM 42.0275.*), 1911) beruhten darauf, daß zuerst ein Hülfssatz hergeleitet wurde, der sich so aussprechen läßt. Ist eine unendliche Folge von Funktionen \(f_n(x)\) gegeben, die den Bedingungen 1. und 2. genügen, so ist es stets möglich, daraus eine unendliche Folge von Funktionen \(f_a(x)\), \(f_\beta(x), f_\gamma(x),\dots\) \((\alpha<\beta <\gamma\dots)\) auszusondern, die im Innern von \(T\) gegen eine holomorphe Funktion konvergiert, und zwar gleichmäßig für jeden Bereich \(T'\).
Wie Lindelöf bemerkt, läßt sich dieser Hülfssatz leicht aus dem Satze von Vitali gewinnen. Für den Satz von Vitali aber ergibt sich ein unmittelbarer, einfacher Beweis durch folgende Überlegungen.
Als Bereich \(T'\) nehme man zunächst einen Kreis \(C'\), der mit einem solchen Halbmesser \(R'\) um den Häufungspunkt \(x_0\) beschrieben ist, daß er ganz im Innern von \(T\) liegt; \(C\) sei ein Kreis mit demselben Mittelpunkt und dem Halbmesser \(R < R'\), der ebenfalls ganz im Innern von \(T\) liegt. Wegen der Bedingung 1. gelten für den Kreis \(C\) einschließlich seiner Begrenzung Entwicklungen der Form: \[ f_n(x) - a^{(n)}_0 + a^{(n)}_1(x -x_0)+\dots+ a^{(n)}_\nu(x - x_0)^\nu +\cdots, \] und wegen der Bedingung 2. gibt es eine positive Zahl \(G\), sodaß für alle Werte von \(n\) die Ungleichheiten \[ | a_\nu^{(n)}|<\frac{G}{R^\nu}\quad (\nu-0, 1, 2,\dots) \] bestehen. Aus der Identität \[ f_{n+p(x)}-f_n(x)=a^{(n+p)}_0 -a^{(n)}_0 +\cdots + (a_\nu^{(n+p)} - a^{(n)}_\nu)(x-x_0)^\nu+\cdots \] folgen jetzt für beliebige ganze Zahlen \(n\) und \(p\) und für \(| x-x_0| < R\) die Ungleichheiten: \[ | a^{(n)}_0 -a_0^{(n)}| \leqq | f_{n+p}(x) - f_n(x)|+\frac{2G| x-x_0|}{R-| x-x_0|}\,, \] und jetzt ist es nicht schwer, zu zeigen, daß die Konstanten \(a_0^{(n)}\) (\(n= 1, 2,\dots\)) sich einer bestimmten, endlichen Grenze \(c_0\) nähern, deren absoluter Betrag \(\leqq G\) ist.
Die Funktionen \[ \varphi_n(x)=\frac{f_n(x)a^{(n)}_0}{x-x_0}\quad (n=1,2,\dots) \] befriedigen die Bedingungen 1., 2. und 3. Man kann daher auf sie dieselben Überlegungen anwenden, die soeben auf die Funktionen \(f_n(x)\) angewandt wurden, und erkennt so, daß die Konstanten \(a_1^{(n)}\) eine bestimmte endliche Grenze \(c_1\) haben, deren absoluter Betrag \(\leqq \frac GR\) ist. Indem man diese Schlußweise fortsetzt, ergibt sich, daß für alle Werte von \(\nu\) die Beziehungen gelten: \[ \lim_{n=\infty}a^{(n)}_\nu = c_\nu,\quad | c_\nu|\leqq \frac{G}{R^\nu}\,. \] Hieraus folgt, daß durch die Potenzreihe \[ F(x) = c_0 +c_1(x - x_0) + c_2(x - x_0)^2 +\cdots \] eine monogene Funktion \(F(x)\) definiert wird, die im Innern des Kreises \(C\) holomorph ist, und daß die Differenz \(F(x) - f_n(x)\) mit wachsendem \(n\) im Kreise \(C'\) gleichmäßig gegen Null konvergiert. Dieselben Schlußreihen lassen sich auf die Folgen der Funktionen übertragen, die aus der Folge der Funktionen \(f_n(x)\) durch Differentiation hervorgehen.
Nachdem der Satz von Vitali auf diese Art für den Kreis \(C'\) bewiesen worden ist, läßt er sich auf Grund des Verfahrens der analytischen Fortsetzung auf jeden Bereich \(T'\) ausdehnen; die Gleichmäßigkeit der Konvergenz folgt dabei aus der Tatsache, daß jeder endliche Bereich \(T'\) durch eine endliche Anzahl von Kreisen überdeckt werden kann, für die nach dem Vorhergehenden die Gleichmäßigkeit feststeht.

MSC:

30A05 Monogenic and polygenic functions of one complex variable
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Full Text: DOI Numdam EuDML