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Sur la série de Fourier d’une fonction à carré sommable. (French) JFM 44.0302.03

Ist \(f(x)\) summierbar und \[ \tfrac12\,A_0+\sum A_m =\tfrac12\,a_0+ \sum(a_m \cos mx + b_m \sin mx) \] ihre Fourier-Reihe, so ist (nach Fejér) diese Reihe von erster Ordnung summierbar mit der Summe \(s=\tfrac12\,[f(x + 0) + f(x-0)]\) für jedes \(x\), für das dieser Ausdruck einen Sinn hat. Es ist dort also \[ \lim\;\frac{(s_0-s)+(s_1-s)+\cdots+(s_n-s)}{n+1}=0, \] wenn \(s_m =\tfrac12\,A_0 + A_1 +\cdots+ A_m\) ist. Es wird nun in dieser Richtung bewiesen:
1. Ist \(f(x)^2\) summierbar, so ist auch \[ \lim\;\frac{(s_0-s)^2+ (s_1 - s_2)^2+\cdots+ (s_n -s)^2}{n+1} =0. \] 2. Dies ist “fast überall” auch dann richtig, wenn \(s = f(x)\) genommen wird.

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Full Text: Gallica