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On the resolution of a given modular system into primary systems including some properties of Hilbert numbers. (English) JFM 44.0246.01

1. Einleitung: “In Math. Ann. 60, S. 51, Satz VII (F. d. M. 36, 292 (JFM 36.0292.*), 1905) beweist E. Lasker, daß jeder Modul (Modulsystem) der kleinste enthaltende Modul (L. C. M.) einer endlichen Anzahl primärer Moduln ist. Sein keinen Punkt enthaltender Modul \(R\) wird in der gegenwärtigen Abhandlung als ein den Ursprung enthaltender primärer Modul angesehen.
Die folgende Untersuchung befaßt sich mit der wirklichen Auflösung jedes Moduls, dessen Basis gegeben ist, in primäre Moduln und umfaßt eine Anzahl von damit zusammenhängenden Sätzen.
Die beschriebenen Prozesse und Methoden gründen sich auf Noethers Fundamentaltheorem (Math. Ann. 6, 351, 1873), dem Lasker in seinen Sätzen VII und XXVII den allgemeinsten und vollständigsten Ausdruck gegeben hat. Einige einfache Beispiele für die Auflösung eines Moduls werden in den §§44-46 gegeben; für die Ausführung der Auflösung im allgemeinen werden aber die folgenden umfassenden Annahmen gemacht:
I. Die Basis des L. C. M. eines jeden gegebenen Modulsystems ist bekannt. II. Die Basis des Residuums eines jeden Moduls in bezug auf ein anderes ist bekannt. III. Ein vollständiges System linear unabhängiger Glieder jedes angegebenen (zahlenmäßig bezeichneten) Grades eines gegebenen \(H\)-Moduls kann niedergeschrieben und abgezählt werden. Ein wesentlicher Grundzug der Untersuchung besteht darin, daß \(H\)-Moduln und \(K\)-Moduln (Hilbertsche und Kroneckersche Moduln) gleichzeitig betrachtetwerden; dies ist beinahe notwendig für meinen Standpunkt, und ich umgehe dies nicht, obgleich es zur Wirrnis des Gegenstandes hinzutritt.
Außer der Auflösung eines Moduls in primäre Moduln gibt es eine Richtung, nach der ein primärer Modul selbst aufgelöst werden kann. Es läßt sich zeigen, daß ein primärer Modul aufgebaut werden kann auf einer gewissen Anzahl von Hüllen (“layers”, roh erläutert durch die vielfachen Hüllen, in die ein Körper eingewickelt werden kann), und seine Auflösung besteht in der Entfernung der Hüllen, jedesmal einer einzelnen. Die Anzahl der Hüllen heißt die Vielfachheit des primären Moduls.
Der Keim der in dieser Abhandlung entwickelten Ideen ist in einer früheren Arbeit zu finden (Lond. M. S. Proc. 31, 381-422; F. d. M. 30, 509 (JFM 30.0509.*), 1899), in der die enge Abhängigkeit von dem Noetherschen Fundamentaltheorem ebenfalls zutage liegt. Ich habe vor einiger Zeit die vollständigere Bedeutung dieser Ideen im Zusammenhange mit der Theorie der Modulsysteme entwickelt, habe aber keine frühere Gelegenheit gehabt, sie zu gestalten. Ich habe es nicht für nötig erachtet, alle gemachten Aussagen zu beweisen, habe jedoch bewußtermaßen keine Eigenschaft angenommen, ohne einen Beweis erlangt zu haben, wofern nicht das Gegenteil klar festgestellt ist.”
II. Definitionen und vorgängige Festsetzungen. III. Auflösung eines Moduls. IV. Theoreme. V. Hilbertsche Zahlen

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References:

[1] M. Noether, Math. Ann.6, (1873), p. 351. · JFM 05.0348.02 · doi:10.1007/BF01442793
[2] a) ?The Theorem of Residuation, etc.? (Proc. London Math. Soc. (1) 31 (1900), p. 381). The following have reference to this paper: b) C. A. Scott, ?On a Method for dealing with the Intersections of Plane Curves? (Trans. Am. Math. Soc.3 (1902), p. 216). c) F. S. Macaulay, Same title and publication as the preceding (5 (1904), p. 385). d) F. S. Macaulay, ?The Intersections of Plane Curves, with Extensions ton-dimensional Algebraic Manifolds’ (Verhandlungen des III. Internationalen Math. Kongresses, B. G. Teubner (1905), p. 284). The proof in VII, p. 307, is wrong, and the properties there stated to be true for any space-curve are only true for a space-curve of the principal class (§ 56 below). e) E. Löffler, ?Zum Noetherschen Fundamentalsatz? (Math. Ann. 65 (1908), p. 400). The following sourees are specially used in the present paper: f)(I) D. Hilbert, ?Über die Theorie der algebraischen Formen? (Math. Ann.36, (1890), p. 473) and f)(II) D. Hilbert, ?Ein allgemeines Theorem über algebraische Formen? (Math. Ann. 42 (1893), p. 320 [§ 3 of the Memoir: ?Über die vollen Invariantensysteme?]), an extension of a theorem due to Netto (Acta Math. 7 (1886), p. 101). g) J. König, ?Einleitung in die allgemeine Theorie der algebraischen Größen? (B. G. Teubner, 1903), for Kronecker’s, Theory of the Resolvent and the general theory of Modular Systems. (For continuation see next page.) h) E. Lasker, ?Zur Theorie der Moduln und Ideale? (Math. Ann. 60 (1905), Satz VII, p. 51; Satz XXVII, p. 95; and § 45, p. 98-103). Previous nomenclature has been departed from in the following instances: ?prime equation ? has been replaced by ?principal equation? (to aviod any suggested special connection with prime mudule); ?one-set system? has been replaced by ?system with a single principal equation?; and ?linear equation? has been replaced by ?modular equation? (§16), which is not to be understood as meaning a congruence equation.
[3] E. H. Moore (Bull. Am. Math. Soc. (2) 3 (1897), p. 372) defines simple module in this sense, and we shall not use it in any other sense. · JFM 28.0087.03 · doi:10.1090/S0002-9904-1897-00426-8
[4] The process is one which can be actually carried out for any K-N-module whose basis is given, and the value of ? found. It is not possible to give a formula for ? except in a few specially simple cases the most important being the following obvious extension ton variables of Noether’s result, for two curves (Math. Ann.6 (1873), p. 351): If the resultant of the terms of lowest degreei 1,i 2,...,i n inF 1,F 2, ...,F n respectively is not zero, then the characteristic number ? of the simple N-module contained in (F 1,F 2, ...,F n) isi 1+i 2+...+i n?n+1. See also Bertini (Math. Ann. 34 (1889), p. 447) who gives a superior limit for ? in the case of two curves when the resultant spoken of is zero. This result can also be obviously extended ton variables.
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