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Anwendungen der Vektoranalysis auf Differentialgeometrie. (German) JFM 43.0680.02

Dieser auf der Jahresversammlung der Deutschen Mathematikervereinigung zu Münster gehaltene Vortrag gibt ein zusammenfassendes Referat über die Anwendungen der Vektoranalysis auf die Theorie der Kurven und Flächen. In differentialgeometrischer Hinsicht aussichtsvoll scheint in erster Linie die Geometrie des Vektorfeldes zu sein, nämlich die Kurvenkongruenz der Stromlinien und eine Schar sie schneidender Flächen. Es werden vektoranalytische Formeln für Krümmung \(k\) und Windung \(\varkappa \) der Stromlinien als Funktionen des Feldvektors \(t\)(\(|\mathfrak t|\) = 1, Tangenteneinheitsvektor der Stromlinien) abgeleitet: \[ \begin{gathered} k\mathfrak n=[\text{rot}\,\mathfrak t,\mathfrak t],\\ 2\varkappa =-\mathfrak t\;\text{rot}\;\mathfrak t+\mathfrak n\;\text{rot}\;\mathfrak n+\mathfrak b\;\text{rot}\;\mathfrak b.\end{gathered} \] (\(\mathfrak n\), \(\mathfrak b\) Einheitsvektoren der Haupt- und Binormale der Stromlinien). Für die Theorie der Flächen einer Schar ist es zweckmäßig, vektorielle Differentialparameter einzuführen, die mit dem vektoriellen \(\nabla\)-Operator im Zusammenhang stehen und sowohl naturgemäße, wie auch formale Erweiterungen der gewöhnlichen skalaren Beltramischen Parameter sind. Hier muß auf die Originalarbeit verwiesen werden.
Als eine der Anwendungen wird ein einfacher Beweis des Darboux-Dupinschen Theorems über dreifach-orthogonale Flächensysteme gegeben; er beruht auf der bekannten Formel \[ \mathfrak N\;\text{rot}\;\mathfrak N=0, \] der der Einheitsvektor \(\mathfrak N\) der Flächennormale zu genügen hat, und der Formel \[ \mathfrak A\;\text{rot}\;\mathfrak A-\mathfrak B\;\text{rot}\;\mathfrak B=2\gamma, \] die zwischen zwei zu einander senkrechten flächentangentialen Vektoren \(\mathfrak A\), \(\mathfrak B\) von dem Betrage Eins und den geodätischen Windungen \(\gamma\), \(-\gamma\) ihrer Stromlinien besteht.
In zahlreichen Zusätzen und Erläuterungen ist sowohl frühere Literatur, wie auch Beweisführung der mitgeteilten Sätze und Formeln angegeben.

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Full Text: EuDML