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Sulle divisioni regolari dello spazio iperbolico in poliedri regolari e in tetraedri. (Italian) JFM 43.0573.01

Unter einer regulären Raumeinteilung versteht man zumeist eine solche Einteilung des Raumes in kongruente Polyeder, welche durch Spiegelung an jeder Ganzebene eines jeden dieser Polyeder in sich übergeht. Ein solches Polyeder heißt Fundamentalpolyeder, wenn (abgesehen von der Identität) keine aus den Spiegelungen zusammengesetzte Operation des Polyeders in sich überführt. Bei der Behandlung des Problems im hyperbolischen Raum \(R\) bedient man sich mit Vorteil einer der beiden bekannten Abbildungen von \(R\) auf das Innere \(R'\) einer Kugel (Fundamentalkugel) des euklidischen Raumes. Von den beiden Abbildungen hat die eine den Vorzug, Geraden und Ebenen wieder in Geraden und Ebenen überzuführen. Die zweite führt Geraden und Ebenen in solche Kreise und Kugeln über, die zur Fundamentalkugel orthogonal sind, hat aber vor der ersten Abbildung das voraus, daß sie die Winkel in ihrer, wahren Größe wiedergibt. Im vorliegenden Falle ist dieser Vorzug der wichtigere, weil die erste Bedingung für das Fundamentalpolyeder einer regulären Einteilung die an den Kanten gelegenen (von den Flächen gebildeten) Winkel betrifft: Jeder solche Winkel muß von der Form \(\dfrac \pi n\) (\(n\) ganz) sein. Statt der Fundamentalkugel kann man hier auch eine Ebene \(E\) wählen, wobei dann \(R\) auf den einen von \(E\) abgegrenzten Halbraum abgebildet wird. Den unendlich fernen Punkten von \(R\) entsprechen die Punkte von \(E\). Jede Bewegung des Raumes \(R\) ist durch die Permutation seiner unendlich fernen Punkte bestimmt, und die entsprechende Transformation von \(E\) stellt sich, wenn die Punkte von \(E\) in der üblichen Weise durch komplexe Zahlen bezeichnet werden, als eine komplexe linear gebrochene Substitution \(z'=\dfrac{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta}\) dar. In gleicher Weise dienen zur Bezeichnung der symmetrischen Operationen von \(R\) die Substitutionen von der Form \(z'=\dfrac{\alpha \bar z+\beta}{\gamma \bar z +\delta}\), wo \(\bar z\) zu \(z\) konjugiert-imaginär ist. Die Gruppe derjenigen Bewegungen und symmetrischen Operationen von \(R\), die eine gegebene Raumeinteilung in sich überführen, wird durch eine sog. diskontinuierliche Gruppe von Substitutionen der beiden angegebenen Arten dargestellt.
Bei den regulären Raumeinteilungen behandelt man auch die Fälle, in denen die Ecken der Polyeder zum Teil oder auch sämtlich unendlich ferne Punkte sind. Sind diese Polyeder selbst regulär, so sind natürlich die Ecken entweder alle im Endlichen gelegen oder alle unendlich fern. Einfache Überlegungen führen zu den für das Polyeder einer regulären Einteilung notwendigen Bedingungen, und diese lassen leicht erkennen, daß nur eine beschränkte Anzahl von Fällen in Frage kommt. Die Existenz dieser Fälle kann dann durch die explizite Aufstellung der zugehörigen Substitutionsgruppe erwiesen werden. Diese Gruppe kann natürlich durch jede ihr im Sinne der Substitutionentheorie ähnliche ersetzt werden, und man wird also aus den ähnlichen Gruppen eine solche aussuchen, die sich möglichst einfach arithmetisch charakterisieren läßt. Für die Einteilung in reguläre Tetraeder und Oktaeder mit unendlich fernen Ecken hat Bianchi die Gruppen aufgestellt. Verf. fügt zunächst die zum Würfel mit unendlich fernen Ecken und zu einem regulären Dodekaeder mit endlichen Ecken gehörigen Gruppen hinzu. Um an einem Beispiel die Art und Weise, in der solche Gruppen definiert werden, erkennen zu lassen, geben wir die Gruppe der Würfeleinteilung an. Sie besteht aus allen Substitutionen der Form \(z'=\dfrac{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta}\) und \(z'=\dfrac{\alpha \bar z+\beta}{\gamma \bar z+\delta}\), deren Koeffizienten dem Körper der dritten Einheitswurzeln angehören und den Bedingungen \(\alpha\delta- \beta\gamma=1\), \(\beta\equiv 0\) (\(\operatorname{mod.} 1- \varepsilon\)), \(\gamma\equiv 0\) (\(\operatorname{mod.} 2(1-\varepsilon)\)) genügen, wobei \(\varepsilon=\dfrac{-1+i\sqrt 3}2\) zu setzen ist.
Im zweiten Teil der Arbeit leitet Verf. diejenigen regulären Einteilungen ab, deren Fundamentalpolyeder ein Tetraeder ist. Es ergeben sich 3 Einteilungen bei Tetraedern mit lauter unendlich fernen Ecken, ferner 2, 9, 9, 8 Einteilungen, bei denen das Fundamentaltetraeder ein, zwei, drei oder vier eigentliche Ecken hat. Mit Ausnahme des letzten Falls (der endlichen Tetraeder) werden auch die zugehörigen Gruppen explizit angegeben, die Aufstellung der Gruppen für diesen Fall verspricht Verf. in einer weiteren Abhandlung zu geben.
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Full Text: Numdam EuDML