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On infinite integrals involving a generalization of the sine and cosine functions. (English) JFM 43.0531.02

Durch Untersuchungen in einer früheren Arbeit (vgl. F. d. M. 42, 284 (JFM 42.0284.*), 1911) war Verf. veranlaßt worden, eine Klasse von Funktionen zu studieren, die als Spezialfälle u. a. die Besselschen Funktionen enthalten. Im besonderen war er zur folgenden Verallgemeinerung der Funktionen \(\sin\) und \(\cos\) geführt worden: \[ \begin{split} C_p(t)=\frac{t^p}{\varGamma(p+1)}\left[1-\frac{t^2}{(p+1)(p+2)}\right.\\ \left.+\frac{t^4}{(p+1)(p+2)(p+3)(p+4)}-+\cdots\right], \end{split} \] bei der \(p\) eine beliebige nicht negative reelle Zahl sein darf. – Es ist ersichtlich \(C_0(t) = \cos t\), \(C_1(t) = \sin t\); und für \(0<p<1\) überbrücken die Funktionen \(C_p(t)\) sozusagen die “analytische Kluft” zwischen \(\sin t\) und \(\cos t\).
Diese Funktionen \(C_p\) sind außer für \(p = 0, 1, 2\) nicht periodisch, aber für \(0\leqq p\leqq 2\) beschränkt. Für größere Werte von \(p\) ergeben sich keine wesentlich neuen Funktionen. Die Eigenschaften dieser Funktionen werden nun untersucht, und es werden Formeln erhalten, die als Verallgemeinerungen entsprechender \(\sin\)- und \(\cos\)-Formeln anzusehen sind.
Gleichzeitig betrachtet Verf. die weiteren Paragraphen der Arbeit, in denen uneigentliche Integrale mit diesen Funktionen im Integranden ausgewertet werden, als Anwendung und Übung zu einer Anzahl von Sätzen über Differentiation und Integration unter dem Integralzeichen, die Verf. in früheren Arbeiten (Camb. Phil. Trans. 21, 361-376 und 397-425) entwickelt hat (vgl. F. d. M. 41, 317 (JFM 41.0317.*), 1910 u. 42, 314, 1911).

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