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Sull’ equazione di Eulero per gli integrali multipli. (Italian) JFM 43.0472.01

Es wird der etwas früher von J. Radon (F. d. M. 42, 406 (JFM 42.0406.*), 1911) ohne Beweis veröffentlichte Satz bewiesen: Damit das \(n\)-fache Integral in Parameterdarstellung: \[ \int \varPhi\left(x_1, \ldots, x_{n+1},\frac{\partial x_1}{\partial v_1}, \ldots, \frac{\partial x_{n+1}}{\partial v_1}, \ldots, \frac{\partial x_1}{\partial v_n}, \ldots, \frac{\partial x_{n+1}}{\partial v_n}\right)\,dv_1\ldots dv_n \] von der Wahl der Parameter unabhängig sei (wobei nur solche Parameter \(w_1, \ldots, w_n\) zugelassen werden, für welche die Funktionaldeterminante \(\dfrac{\partial(w_1,\ldots,w_n)}{\partial (v_1,\ldots,v_n)}>0\) ist), ist notwendig und hinreichend, daß \(\varPhi\) folgende Gestalt habe: \[ \varPhi=\psi(\xi_1,\ldots,\xi_{n+1},x_1, \ldots, x_{n+1}), \] wo \(\psi\) positiv-homogen von erster Ordnung in den \(\xi_h\) ist und: \[ \xi_h=(-1)^{n+1-h}\frac{\partial (x_1,\ldots,x_{h-1},x_{h+1},\ldots, x_n)}{\partial(v_1, \ldots, v_n)} \] gesetzt ist. – Die \(n+1\) Eulerschen Gleichungen des Problems können durch eine einzige Gleichung ersetzt werden, die symmetrisch in den unbekannten Funktionen und in den Parametern ist. Als notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß diese Gleichung sich auf eine Identität reduziere, ergibt sich folgende Gestalt für \(\psi\): \[ \psi=\vartheta_1\xi_1+\vartheta_2\xi_2+ \cdots +\vartheta_{n+1}\xi_{n+1}, \] wo die \(\vartheta_k\) der Bedingung genügen: \[ \sum_{h=1}^{n+1}\frac{\partial \vartheta_n}{\partial x_n}=0. \]

Citations:

JFM 42.0406.*
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References:

[1] G. Kobb,Sur les maxima et les minima des intégrales doubles [Acta Mathematica, t. XVI (1892–93), pp. 65–140; t. XVII (1893), pp. 32I-343]. · JFM 24.0337.02 · doi:10.1007/BF02418987
[2] A. Kneser, loc. cit. 3).
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