×

Neue Eigenschaften der Gaußschen Klammern in der Fareyschen Zahlenreihe. (German) JFM 43.0284.01

Gauß hat in den Disquisitiones arithmeticae den Zähler des Kettenbruches \[ a+\frac{1\,|}{|\,b}+\frac{1\,|}{|\,c}+\dots +\frac{1\,|}{|\,e} \] mit \([a, b, c,\dots, e]\) abgekürzt. Man nennt diese Funktion deshalb eine Gaußsche Klammer. Der Verf. stellt die Rechnungsgesetze dieser Gaußschen Klammern auf, verallgemeinert sie auf den Fall, daß eine oder mehrere der Zahlen \(a\), \(b\), …, \(e\) Null sind, und zeigt, wie die Fibonaccische Zahlenreihe nichts anderes als \[ [],[1], [1,1], [1,1,1],\dots,[1, 1,\dots,1],\dots \] ist. Im zweiten Teil bringt der Verf. dieses Symbol mit der Fareyschen und verwandten Zahlenreihen in Verbindung. Stellt man nämlich jede ungerade Zahl \(2n-1\) im Dualsystem dar, und enthält diese Darstellung, von links nach rechts gelesen, \(\alpha\) Einer, dann \(\beta\) Nullen, \(\gamma\) Einer, \(\delta\) Nullen usf., so bilde man \([\alpha,\beta,\gamma,\dots ]\). Die Zahlen \([\alpha,\beta,\dots ]\), für die Zahlen 1, 3, 5, 7,…gebildet, sind die Fareysche Zahlenreihe. Anschließend an seine Theorie der Gaußschen Klammern und an die Arbeit von Hermes (F. d. M. 25, 256 (JFM 25.0256.*), 1894), bringt er die Rekursionsformel für die Fareysche Reihe. Durch Interkalation der letzteren, d. h. dadurch, daß man zwischen je zwei ihrer Glieder deren Summe einschiebt, entsteht die Sternsche Reihe.

Citations:

JFM 25.0256.*
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI EuDML

References:

[1] Hiernach wäre die Angabe in Enzyklopädie der Math. Wiss. IA 3, S. 122, Fußnoten 350), 351); franz. Ausgabe I 4, S. 287, Fußnoten 222), 223) zu ergänzen.
[2] Auf diese Darstellung hat O. Simony (Wien. Ber. 96 (1887), Abt. II S. 214) hingewiesen; indem er gleiche Ziffern durch Exponenten zusammenfaßt, erscheinen die Zahlen als (symbolische) ?dyadische Produkte?, z. B. $$13 = 1\^2 0\^1 1\^1 , 236 = 1\^3 0\^1 1\^2 0\^2 .$$
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. In some cases that data have been complemented/enhanced by data from zbMATH Open. This attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming completeness or a perfect matching.