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Contribution à l’étude thermomécanique des tiges et des plaques. (French) JFM 42.0876.02

Der Zweck der vorliegenden Arbeit ist, unter dem thermomechanischen Gesichtspunkte das Studium der Stäbe und Platten wieder aufzunehmen, mit dem Boussinesq sich in zwei Abhandlungen desselben Journals beschäftigt hat (F. d. M. 3, 503, 1871 u. 11, 706, 1879). Damals wurden in aller Strenge die Prinzipien behandelt, welche die Ingenieure ihren Theorien über den Widerstand der Materialien zugrunde legen.
Die Schrift, die These des Verf., umfaßt zwei Teile. In dem ersten, der sich mit den Stäben befaßt, wird zuerst die Heterogenität der Fasern berücksichtigt, die oft nahe bei der Achse anders beschaffen sind als in der Umgebung der Oberfläche; die einzige über ihre Beschaffenheit gemachte Hypothese ist die Symmetrie der Struktur in bezug auf die Querschnitte. Der Standpunkt ist also allgemeiner als bei L. Roy (F. d. M. 41, 1003, 1910) und umfaßt beispielsweise auch das thermomechanische Studium der blätterigen Körper und der hölzernen Balken, die nicht in die Kategorie der homogenen und isotropen Körper eingesteht werden können. Ohne dann auf die Prinzipien der Energetik zurückzugreifen, aber unter der Annahme, daßbei allen betrachteten Temperaturen für jeden einzelnen Abschnitt des Stabes ein natürlicher Zustand existiert, wird übrigens ganz anschaulich bewiesen, daßman, abgesehen von gewissen Ausnahmebereichen, in erster Annäherung die Gleichförmigkeit der Temperatur in der ganzen Ausdehnung eines beliebigen Abschnittes annehmen kann und daher auf ihn im Zeitpunkte \(t\) die gewöhnlichen Elastizitätsgleichungen an wenden darf, aber unter der Bedingung, daßdie Verrückungen und Deformationen von dem zur Temperatur \(\theta\) gehörigen natürlichen Zustande an gerechnet werden.
Nunmehr wird die Temperatur explizit in die Gleichungen eingeführt; hierbei wird als Vergleichsstand nicht mehr der auf eine beliebige Temperatur \(\theta\) bezügliche natürliche Zustand gewählt, sondern derjenige, welcher der besonderen Temperatur \(\theta=0\) entspricht. Dann wird gezeigt, daßdie Temperatur immer auf die Ausdehnungs- oder die Kompressionsarbeit Einflußhat, daßdie Biegungs- und Schubmomente von ihr nur in dem Falle abhängen, bei welchem die thermischen Eigenschaften der Längsfasern variabel sind, daßdas Torsionskräftepaar unabhängig ist. Dementsprechend kommt die Untersuchung zu analogen Schlüssen in bezug auf die longitudinalen, transversalen und Torsionsschwingungen.
Der erste Teil schließt mit der Ermittlung der vibrierenden Längsverrückungen eines isotropen Stabes mit für die Wärme undurchlässigen Enden. Von seinen beiden Hälften wird die eine anfänglich erwärmt, die andere abgekühlt; dann setzen sie sich allmählich miteinander und mit der auf der Temperatur 0 gehaltenen umgebenden Luft in thermisches Gleichgewicht. Hierbei ergibt sich, daßeine einfache Differentiation der vom Verf. erhaltenen Resultate seines Problems es ermöglicht, die des entsprechenden Problems von L. Roy in seiner Thèse herzuleiten. Schließlich werden mit Hülfe geeigneter numerischer Anwendungen die Phasen der Abkühlungserscheinung diskutiert; die Betrachtung verweilt besonders bei den Bedingungen, die erforderlich sind damit die Vibrationen kalorischen Ursprunges einen wahrnehmbaren Ton veranlassen.
In dem zweiten Teile wird die anschauliche Methode, die sich bei den Stäben als vorteilhaft erwiesen hat, auf die ebenen elastischen Platten angewandt, unter weiten Hypothesen der Heterotropie und Heterogenität des Materials nach den kleinen Dimensionen des Körpers, d. h. also hier nach der Dicke; aber auch hier wird wiederum die Existenz eines natürlichen Zustandes der Abschnitte bei allen Temperaturen angenommen. Vornehmlich werden hier als besondere Resultate sowohl für die tangentialen, wie auch für die transversalen Verrückungen Gesetze gefunden, die L. Roy selbst bei Beschränkung auf die homogenen und isotropen Platton durch Beanspruchung der Variationsrechnung erhalten hatte, sowie durch hypothetische, von Poisson herrührende und für sehr schnell konvergierend gehaltene Reihenentwicklungen, die sich aber wohl nicht leicht auf Platten von einer minder speziellen Struktur anwenden lassen würden.
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Full Text: EuDML