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Über Kriterien für Konvergenz und Irrationalität unendlicher Kettenbrüche. (German) JFM 42.0246.01

Es werden zunächst die Fragen nach der Konvergenz unendlicher Kettenbrüche zur Darstellung irrationaler Zahlen durch Entwicklungen, bei denen der kleinste positive Rest zu wählen ist, und die nach dem Werte der Kettenbrüche ganz allgemein erledigt. Dann ergibt sich, daß die Bedingungen
\[ b_\nu \geqq1,b_\nu\geqq2\quad (\text{wenn }\varepsilon_{\nu+1}=-1) \]
für die Konvergenz von
\[ b_0+\frac{\varepsilon_1|}{|b_1}+\frac{\varepsilon_2|}{|b_2}+\cdots \quad (\varepsilon=\pm1) \]
notwendig und hinreichend sind. Diese Konvergenzbedingung ist übertragbar auf Kettenbrüche der Form
\[ b_0+\frac{a_1|}{|b_1}+\frac{a_2|}{|b_2}+\cdots \]
mit \(\left|\frac{a_\nu}{b_\nu}\right|\leqq1\), wobei ein neuer Beweis des Pringsheimschen Konvergenzkriteriums gegeben wird. Weitere Klassen konvergenter Kettenbrüche werden gefunden; endlich läßt sich noch ein neuer Irrationalitätssatz ableiten, der den Legendreschen und Stolzschen enthält. Die Resultate sind geometrisch [Verf., Monatsh. Math. 21, 344–360 (1910; JFM 41.0252.03)] gefunden und zeigen, “daß die für die Kettenbrüche verwendete geometrische Deutung offenbar affinen Charakter trägt”, daß aber “das, was gegenüber äquivalenter Umformung invariant bleibt, von projektiver Natur ist.”

MSC:

40A15 Convergence and divergence of continued fractions
11J70 Continued fractions and generalizations
11J72 Irrationality; linear independence over a field

Citations:

JFM 41.0252.03
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References:

[1] Lagrange, Additions aux éléments d’algèbre d’Eule (?uvres, t. VII, S. 3). Nr. 3-13 (deutsch herausgeg. von H. Weber in Ostwalds Klassikern, Nr. 103); vgl. auch Additions aux mémoires etc., Remarque III, (?uvres t. II, p. 622 et suiv.). Die Abweichungen von der regelmäßigen Entwicklung werden besonders für den Zweck der Abkürzung des Entwicklungsverfahrens in Betracht gezogen. Der Fall rationaler ? in neuerer Zeit behandelt bei Kronecker, Vorlesungen über Zahlentheorie, herausgeg. von K. Hensel, 1. Band, 9. Vorl., §§3,4 (S. 113) und K. Th. Vahlen, Journ. f. Math. 115.
[2] Überspezielle Fälle von besonderem Interesse vgl. die in § 1 jangeführten Arbeiten von Hurwitz, Minkowski, Mc Kinney.
[3] Göttinger Nachrichten 1895 und ?Ausgewählte Kapitel der Zahlentheorie?, Autogr. Vorlesungen, I, herausgeg. von A. Sommerfeld, ?Einleitung?.
[4] Ein Vorbericht über den Inhalt dieses I. Teiles im Anzeiger d. Wiener Akad., 1909 (Nr. XVI), S. 269.
[5] Sitzungsber. d. bayer. Akad., math.-phys. Cl. 28 (1898) (Über die Convergenz unendlicher Kettenbrüche, § 3). Vgl. auch dieselben Sitzungsber. 35 (1905), S. 359. Über die eine gewisse Ähnlichkeit mit (2) zeigenden Spezialfälle dieses Kriteriums, die von S. Pincherle (1889) und D. Gambioli (1890) aufgestellt wurden, vgl. Enc. (éd. franç.) t. I. vol.1 (I4, note 272).
[6] Vgl. einen in den Monatsheften f. Math. u. Phys. erscheinenden Aufsatz (Einige Kettenbruchkonvergenzkriterien).
[7] In der erstgenannten Abhandlung, §4.
[8] Legendre, Éléments de Géométrie, Note IV. Eine neuere deutsche Ausgabe dieser Note bei F. Rudio, Geschichte des Problems von der Quadratur des Zirkels.
[9] Allgemeine Arithmetik, 2, S. 297.
[10] Man findet diesen Satz bereits ausgesprochen bei Stern, Journ. f. Math. 11, S. 40. Der von Stern geführte Beweis gründet sich jedoch auf die in einem vorhergehenden Teil seiner Abhandlung (Journ. f. Math. 10, S. 366) ausgesprochene, aber nur angeblich bewiesene Konvergenz. Den gleichen Einwänden unterliegt die dort gegebene Behandlung der speziellen Fälle durchwegs positiver Teilzähler (der Stolzsche Fall) und durchwegs negativer Teilzähler.
[11] Die beiden Fälle von Lagrange (vgl. Binet, Journ. d. math, 6, S. 451) als ?division en dedans? und ?division en dehors? oder ?en excès? unterschieden.
[12] Bezüglich der im folgenden verwendeten, von Pringsheim eingeführten Bezeichnungen vgl. Sitzungsber. d. bayer. Akad. 28 (1898), S. 296 ff. und Encykl. I A 3, Nr. 45; Enc. (éd. franç.), t. I, vol. 1 (I4, 26).
[13] D. h. durch Angabe der Klasse des Kettenbruches gemäß der Klasseneinteilung Ludwig Seidels (Abhandl. d. math. phys. Kl. d. bayer. Akad. 7 (1855), S. 575. [Zusatz bei d. Korr.].
[14] Es gibt ihrer offenbar für jede irrationale Zahl ? unendlich viele von der Mächtigkeit des Kontinuums. Für ein rationales ?=p?q ist die Anzahl der Entwicklungen, wie Vahlen (a. a. O., S. 227) gezeigt hat, gleichq.
[15] Vgl. Enc., IA 3, S. 126, 130; Enc. (éd. franç.), t. I, vol. 1 (I4), S. 292, 293 [für spezielle ?, nämlich Quadratwurzeln aus ganzen positiven Zahlen, von Stern, Abhandl. d. Ges. d. Wiss. zu Göttingen 12, behandelt (Zusatz b. d. Korr.)]. Die Festsetzung ?1?r v <0 würde fürjede Zahl ? einenunendlichen Kettenbruch, bei rationalem ? offenbar mit der Periode ?1/2, liefern. Diese Kettenbruchentwicklung wäre also für die Anwendung der von G. Cantor (J. f. Math. 84, Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre, § 2) angegebenen Methode, die Gesamtheit aller reellen Zahlen-n-tupel auf die aller reellen Zahlen umkehrbar eindeutig abzubilden, besonders geeignet, da sie keine ergänzende Betrachtung für die rationalen Zahlen erforderlich macht.
[16] Th. E. McKinney, Americ. Journ. of Math., vol. 29 (1907). Die Arbeit knüpft an die vorgenannte von Hurwitz an, in der die Spezialfälle ?=1/2 (s.o.) und \(\lambda = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\) (?Kettenbruchentwicklung zweiter Art?) behandelt sind. Andere Verallgemeinerungen von c), bei denen die Intervalle für 1/??, denen dasselbeb v entspricht, zum Unterschiede von d) sämtlich gleichartig sind, ergeben sich durch eine Forderung von einer der Gestalten ??1?r v <?, ???1<r v ???, unter ?, ?? Zahlen der Intervalle 0<??1, 0???<1 verstanden.
[17] Math. Ann. 54 (1900) und ?Diophantische Approximationen?, II. Kap., §§6-10.
[18] Z. B. jede mit \(1 + \frac{{1|}}{{|2}} - \frac{{1|}}{{|1}} + \cdots \) beginnende Entwicklung einer Zahl ? zwischen 5/3 und 2, wie etwa \(\omega = 1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) .
[19] Andere Entwicklungen, die hier nicht inbegriffen sind, betrachtet Stolz, Allgemeine Arithmetik2, S. 298.
[20] Bezüglich der Eigenschaften dieser geometrischen Deutung der Näherungsbrüche im Falle ? v =+1 vgl. F. Klein, a. a. O.
[21] Additions aux éléments d’algèbre d’Euler, Nr. 11 (Euvr. t. VII, p. 22 et suiv.; Ostwalds Klass. 103, S. 18 f.). Der Beweis a. a. O. für limA v =?, und limB v =? setzt einen ersten Indexv, für denA v+1>A v , bezw.B v+1>B v ist, voraus, ist also für dieB v gültig, da wegen der von Lagrange vorausgesetzten Ganzzahligkeit dera v ,b v stets entwederB 1>B 0 oderB 2>B 1=B 0 ist. Für dieA v bildet in der Tat der Kettenbruch 1-1/2-1/2?..., wo alleA v =1 werden, eine Ausnahme. Für die von Lagrange de facto allein betrachteten Kettenbrüche, die aus einer unregelmäßigen Entwicklung einer Zahl ? hervorgehen, und nur für solche Kettenbrüche ließe sich die Konvergenz übrigens ableiten aus limB v =? und der Abschätzung von |??A v /B v | (l. c. Nr. 13) unter Beachtung vonB v+1?B v (v>0).
[22] Journal f. Math. 120, S. 139.
[23] Grundlage für eine Theorie des Jacobischen Kettenbruchalgorithmus, Habilitationsschr. (=Math. Ann. Bd. 64), § 9.
[24] Mit diesem Ausdruck werden also zusammengefaßt die ?Konvergenz im engeren Sinne? und der von Pringsheim (?Über die Konvergenz unendlicher Kettenbrüche?, § 2, Münch. Ber. 1898) als ?Divergenz schlechthin oder im wesentlichen nach ??, von Pringsheim und Perron (vgl. Perron, Münch. Ber. 1908, S. 484) gelegentlich auch als ?eigentliche Divergenz? bezeichnete Fall. (Die Zusammenfassung dieser Fälle schon bei Seidel, l. c. S. 571 [Zusatz bei d. Korrektur].) Im folgenden bedeutet ?divergent? ohne Zusatz soviel wie: auch im weiteren Sinne nicht konvergent.
[25] Unter Beschränkung auf den Fall rationaler ? ausgesprochen und bewiesen von Vahlen, a. a. O. S. 226. Ein geometrisch geführter allgemeiner Beweis möge an anderer Stelle ausgeführt werden. Die Gültigkeit des Satzes erstreckt sich nicht nur auf die Hauptnäherungsbrüche (durch die PunkteP v repräsentiert), sondern auch auf dieNebennäherungsbrüche (vgl. Enc. I A 3, Anm. 370; Enc., éd. franç., t. I, vol. 1, I 4 note 242) der unregelmäßigen Kettenbruchentwicklung.
[26] Ersichtlich kann Satz 4 aus Satz 5 abgeleitet werden, sofern nur für den ?Ausnahmefall? die Rationalität des Kettenbruches gezeigt ist. So setzt z. B. auch der bei Euler (De fract cont. diss., Comment. Petrop. 9 (1737) implizit vorgefundene Irrationalitätsbeweis füre unde 2 aus den bekannten bezüglichen unendlichen regelmäßigen Kettenbrüchen (vgl. A. Pringsheim. Sitzber. d. bayer. Ak. 1898, S. 325; Enc. I A 3, S. 60; Enc., éd. franç. I3, p. 170) die von Euler allerdings a. a. O. nicht hervorgehobene Tatsache voraus, die in dem Spezialfall des Satzes 5 für reglemäßige Kettenbrüche enthalten ist. [Zusatz bei d. Korr.]
[27] Eine derartige Anordnung des Stoffes bei reinarithmetischer Darstellung in Stolz-Gmeiner, Einl. in d. Funktionenth. II. Abteilung, Abschn. XI, Nr. 4.
[28] Ganzzahlige Kettenbrüche, die (25) und (29) erfüllen, behandelt Stern (Journ. f. Math. 10, S. 366, u. 11, S. 40) und spricht ihre Konvergenz und die Irrationalität ihres Wertes aus, was sich im folgenden bestätigt findet. Doch ist sein Konvergenzbeweis unzulänglich und würde, auf den Fall nicht ganzzahligera v ,b v ausgedehnt, zu der keineswegs zutreffenden Folgerung führen, daß alle (25) und (29) erfüllenden reellen Kettenbrüche konvergent sind. Auch hat Stern (a. a. O. Journ. f. Math. 10, S. 366, u. Bd. 11, S. 37) die Möglichkeit einer derartigen Ausdehnung seiner Beweise zumindest in einem speziellen Falle (allea v <0) tatsächlich ausgesprochen. Die Unstichhaltigkeit der Beweise beruht auf der von ihm damals übersehenen und erst später (vgl. Journ. f. Math. 37) erkannten Möglichkeit oszillierender, d. i. weder konvergierender noch nach unendlich divergierender Kettenbrüche, weshalb er ursprünglich auch alle Kettenbrüche mit positiven Elementen für konvergent erklärt (vgl. a. a. O., Bd. 10, S. 164, 365 und den Reihenkonvergenzsatz Nr. 29, S. 166). (Dieser Irrtum übrigens auch bei Euler, Comm. Petrop. 11, p. 32, § 1 [Zusatz bei d. Korr.]). Daß dabei sein Kettenbruchkonvergenzbegriff von dem heute üblichennicht abweichtm, scheint mir aus dem Wortlaut der Definition (a. a. O. S. 364-365) und der Behandlung von Irrationalitätsfragen hervorzugehen. (Eine andere Beurteilung in Enc. I A 3, Anm. 378; Enc., éd. franç., t. I, vol. 1 (I 4, Note 252).
[29] D. h. wenn nicht bloß endlich viele ? v =+1 sind.
[30] Vgl. § 2 (Schluß u. letzte Anm.).
[31] Sitzber. d. bayer. Akad. zu München, math. phys. Kl. 35 (1905), Über einige Konvergenz-Kriterien für Kettenbrüche mit komplexen Gliedern, § 1.
[32] Vgl. gewisse analoge dem Beweise des Satzes 5 (§ 4) vorausgeschickte Überlegungen.
[33] Vgl. §5, am Schluß.
[34] Bezüglich einer näheren Ausführung dieser Verhältnisse muß auf einen demnächst in den Monatsheften f. Math. u. Phys. erscheinenden Aufsatz verwiesen werden (§ 2).
[35] Wenn die Anzahl der positiven Teilzähler endlich ist, steht von vorneherein (gemäß § 6) die Konvergenz fest.
[36] Seidel, Habilitationsschr., München 1846. Vgl. Enc. I A 3, Anm. 378.
[37] Dieses Kettenbruchkonvergenzkriterium wurde zuerst von L. Saalschütz, Journ. f. Math. 120, S. 138, Anm. ausgesprochen. Ein Beweis bei Pringsheim, Sitzber. d. bayer. Akad., math. phys. Kl., 29 (1899), wo die Angabe, die Bedingung sei auch notwendig für die Konvergenz, widerlegt wird.
[38] Vgl. den zitierten Aufsatz in den Monatsh. f. Math. u. Phys.
[39] A. a. O. § 4, Satz 3.
[40] A. Pringsheim, Sitzber. d. bayer. Akad., math. phys. Cl., 28 (1898), S. 299; Enc. I A 3, S. 127. Es sei mir gestattet, bei der Gelegenheit ein paar Worte zugunsten der nur bedingt konvergenten Kettenbrüche einzulegen (d. i. solcher konvergenter mit wenigstens einem divergentenK m) bezüglich ihrer Stellung zu den unbedingt konvergenten, welch letzteren allein Pringsheim a. a. A. Pringsheim, Sitzber. d. bayer. Akad., math. phys. Cl., O. (S. 307) ?den Charakter einer geweissen analytischen Notwendigkeit? beimißt, den er den ersteren völlig aberkennt. Bei beiden Arten konvergenter Kettenbrüche führt die Änderung des Wertes eines einzelnen Elementes eine Änderung des Wertes des Kettenbruches (eventuell?sit venia verbo?in den Wert ?) herbei. Wie bei den bedingt konvergenten kann man aber auch bei einem unbedingt konvergenten Kettenbruch seine Elemente ohne Änderung seines Wertes von einer gewissen Stellev=m+1 an durch andere, bis auf die Bedingung, daß der Wert von 258-1 ungeändert bleiben soll, völlig willkürliche ersetzen.
[41] Desgleichen für jeden ?schlechthin oder im wesentlichen nach ? diver genten? (vgl. die letzte Anm. d. § 2), d. h. für einen Kettenbruch, der der Bedingung limB v/A v=0 genügt, diey-Achse zur Grenzrichtung derOP v hat.
[42] Vgl. über diese Beziehung, die den unbedingten Charakter der Konvergenz im weiteren Sinne [dem Wesen nach schon von L. Seidel, Habilitationsschr., München 1846. l. c., S. 571, hervorgehoben (Zusatz bei d. Korr.)] und die enge Verwandtschaft der konvergenten (im engeren Sinne) und ?schlechthin oder im wesentlichen nach ? divergenten? Kettenbrüche zeigt, den § 2 der mehrfach zitierten Pringsheimschen Arbeit ?Über die Convergenz unendlicher Kettenbrüche? (1898).
[43] Bezüglich anderer unter Satz 6 fallender Konvergenzkriterien vgl. § 5 des zitierten Aufsatzes in den Monatsheften f. Math. u. Phys,
[44] Sitzber. d. bayer. Akad., math. phys. Kl., 28 (1898), Über die Convergenz unendlicher Kettenbrüche, §4. Die Schlußweise ist im Wesen übereinstimmend mit der Legendreschen, erhält aber a. a. O. zum erstenmal durch die erforderlichen Konvergenzbeweise wirkliche Berechtigung.
[45] ?Über die ersten Beweise der Irrationalität vone und ?? im gleichen Bande der genannten Sitzber., S. 325.
[46] Vgl. die letzte der an Satz 4 (§ 4) geknüpften Bemerkungen.
[47] Pringsheim (Sitzber. d. bayer. Akad. 35 (1905), Über einige Konvergenzkriterien für Kettenbrüche mit komplexen Gliedern, § 2) gewinnt durch die dem Ansatz \(k_v = \frac{{l_{v - 1} }}{{b_{v - 1} }}\) entsprechende Umformung das Konvergenzkriterium (l v eine Folge positiver Zahlen): \(\left| {\frac{{a_v }}{{b_{v - 1} b_v }}} \right| \leqq \frac{{l_v - 1}}{{l_{v - 1} l_v }}\)
[48] Habilitationsschr. (=Math. Ann. 64, S. 1), Sitzber. d. bayer. Akad., 37 (1907) S. 401, 38 (1908) S. 181.
[49] 99, S. 1014 (Sur une généralisation des fractions continues).
[50] O. Perron (Sitzber. d. bayer. Akad. 1907) hat gezeigt, daß die Bedingung (38 a) in der Tat nahezu in vollem Umfange, ? wenn nicht überhaupt ohne jede Nebenbedingung, wie er vermutet (a. a. O., S. 441), ? für die Konvergenz des Algorithmus binreichend ist, während das gleiche für (39a) wenigstens beipositiven a 0 (v) ,...a n (v) gilt, wie sich durch Spezialiserung eines von Perron an anderer Stelle (Math. Ann. 64, S. 12) aufgestellten Konvergenzkriteriums ergibt.
[51] Vgl. Pringsheim,a. a. O., S. 366, Anm.
[52] Z. B. das oben erwähnte Pringsheimsche Kriterium (37), ein Kriterium von Helge von Koch (Bull. Soc. math. de France 23, S. 37) u. a. m. Vgl. Pringsheim, l. c. und Enc., éd. franç., t. I vol. 1 (I 4, Nr. 31; I 6, Nr. 7).
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