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Geometria differenziale delle congruenze rettilinee. (Italian) JFM 41.0733.01

Die von Kummer begründete Differentialgeometrie der Strahlensysteme stützt sich auf die Betrachtung der beiden quadratischen Differentialformen \(\Sigma dX^2=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2\) und \(\Sigma dxdX=edu^2+(f+f')dudv+gdv^2\). Die zweite der beiden Formen ist, vom Standpunkte der differentiellen lnvariantentheorie aus betrachtet, nicht zweckmäßig gewählt, insofern sie von der Bezugsfläche abhängt; schwerer noch ins Gewicht fällt ein anderer Mangel: sie genügt nicht, um im Verein mit der ersten Form, dem Quadrat des Linienelements der sphärischen Abbildung, eine Kongruenz eindeutig zu definieren. Bereits 1909 hat der Verf. gezeigt, daß sich in dem “Moment benachbarter Strahlen”, durch dessen Verschwinden die abwickelbaren Flächen der Kongruenz geliefert werden, eine viel natürlichere zweite Grundform darbietet. Da die vorliegende Arbeit im wesentlichen eine gedrängte Darstellung der Theorie bringt, die Sannia unter dem Titel “Nuova esposizione della geometria infinitesimale delle congruenze rettilinee” (Annali di Mat. (3) 15) entwickelt hat, so sei auf das Referat F. d. M. 39, 721, 1908, JFM 39.0721.04, verwiesen. Es mag genügen, das “Fundamentaltheorem” hier noch einmal anzuführen: “Zwei quadratische Differentialformen, von denen die erste das Krümmungsmaß 1 besitzt, definieren, wenn ihre Koeffizienten eine gewisse Differentialrelation erfüllen, eine Linienkongruenz eindeutig bis auf Bewegungen im Raume.”
Einen engen Anschluß an die Theorie der Flächen im Gaußschen Sinne hat der Verf. auf dem eingeschlagenen Wege in der Tat erreicht. Hervorgehoben sei aber ausdrücklich, daß die Sanniasche Theorie für die Normalensysteme nicht unmittelbar in die klassische Flächentheorie übergeht. Aus diesem Grunde möchte Ref. von einer, wie es scheint, vom Verf. beabsichtigten, weitgehenden Übertragung der dort üblichen Termini auf die Theorie der Kongruenzen abraten. Wenn z. B. die Developpablen der Kongruenz künftig der Analogie zuliebe “asymptotische Flächen” heißen sollen, so ist der (auch sachlich kaum berechtigte) Name wenig glücklich gewählt, da sie im Falle eines Normalensystems gerade nicht den Asymptotenlinien, sondern den Krümmungslinien der Orthogonalflächen entsprechen.
Der letzte Abschnitt der Arbeit betrifft die Verwendung der Linienkoordinaten. Die \(W\)-Systeme werden durch das Verschwinden einer Simultaninvariante der beiden Grundformen charakterisiert.

Citations:

JFM 39.0721.04
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References:

[1] Allgemeine Theorie der geradlinigen Strahlensysteme (Crelles Journal, 57, 1859). · ERAM 056.1491cj
[2] Nuova esposizione della geometria infinitesimale delle congruenze rettilinee (Annali di Matematica, T. 15, serie III, 1908),Nuove formule utili per lo studio delle congruenze rettilinee (Atti della R. Accademia delle Scienze di Torino, 44, 1909);Sull’ inviluppata media di una congruenza di rette (in corso di stampa R. Accademia delle Scienze di Torino, ibid. 45, 1910).
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