×

Surfaces partiellement cylindroïdes. (French) JFM 41.0702.01

Nouv. Ann. (4) 10, 49-83, 529-568 (1910).
Ein Punkt heißt “Cayleyscher Punkt” bezüglich einer Regelfläche, wenn die Fußpunkte der von ihm aus auf die Erzeugenden gefällten Lote in einer Ebene liegen. Appell und Bricard haben gezeigt (S. M. F. Bull. 28, 1900), daß nur für das Zylindroid sämtliche Punkte des Raumes Cayleysche Punkte sind. Bei anderen Regelflächen können derartige Punkte nur isoliert auftreten, Kurven bilden oder Flächen bedecken. Regelflächen, die mindestens 3 Cayleysche Punkte besitzen, werden vom Verf. als “partiell zylindroidisch” bezeichnet. Sie lassen sich, wie gezeigt wird, folgendermaßen einteilen: 1. ein Flächentypus vierter Ordnung mit Leitebene, bei dem die Cayleyschen Punkte einen Rotationszylinder oder eine Ebene bedecken; 2. Regelflächen mit Leit{kegel}, und zwar \(R_9\) mit 10, \(R_8\) mit 4 und \(R_6\) mit unendlich vielen Cayleyschen Punkten, die eine \(C_6\) bilden. Die Ordnung läßt sich noch erniedrigen: man findet so gewisse \(R_4\) mit 2 Cayleyschen Geraden und endlich die \(R_2\), die in bezug auf jedes System von Erzeugenden 6 Cayleysche Geraden zulassen.
Die allgemeinste Regelfläche mit mindestens 3 Cayleyschen Punkten gewinnt der Verf. aus den gemeinsamen Geraden dreier speziellen Linienkomplexe vom zweiten Grade. Sie ist von der neunten Ordnung und bildet den Ausgangspunkt für die mit Abnahme der Ordnung verbundene Spezialisierung.
Nach Untersuchung der \(R_9\) und \(R_8\) widmet der Verf. eine zweite Abhandlung den \(R_6\) die sich beim Zerfall der \(R_9\) in Zylindroid und Fläche sechster Ordnung ergeben. Zu einer besonders interessanten Klasse unter diesen Flächen führt die Betrachtung einer gewissen Linienkongruenz, die mit einer von Humbert (C. R. 111, 963) gefundenen Laméschen Schar von Hyperboloiden eng verknüpft ist. Die Bedingungen für den Zerfall der von den Cayleyschen Punkten erfüllten \(C_6\) werden ermittelt. Zum Schluß werden auch die abwickelbaren Flächen behandelt.
Full Text: EuDML