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Über eine Konfiguration von geraden Linien im Raume. (German) JFM 39.0550.02

Die hier besprochene Konfiguration gehört zu der bekannten von F. Klein aus liniengeometrischen Betrachtungen hergeleiteten Kollineationsgruppe der Ordnung \(\frac12 \cdot 7!.\) Bei der Anwendung von Linienkoordinaten \(x_1, x_2, \dots, x_7,\) welche den beiden Bedingungen \(\sum_{i=1}^7 x_i = 0\), \(\sum_{i=1}^7 x_i^2 = 0\) unterworfen sind, wird die Kollineationsgruppe durch die geraden Permutationen von \(x_1, \dots, x_7,\) dargestellt. Die Gruppe kann noch durch Hinzunahme von \(\frac12 \cdot 7!\) Korrelationen erweitert werden, welche den ungeraden Permutationen von \(x_1, \dots, x_7\) entsprechen. Eine zu der Gruppe gehörige Konfiguration wurde von H. Maschke untersucht (Math. Ann. 51, 253-298; F. d. M. 29, 115, 1898, JFM 29.0115.02); sie besteht aus 140 Geraden. Die von E. Meyer aufgestellte Konfiguration setzt sich aus 720 Geraden \(g\) zusammen, deren Koordinaten eine Permutation der Werte \[ \gamma^0, \gamma^1, \gamma^2, \gamma^3, \gamma^4, \gamma^5, \gamma^6 \qquad (\gamma = e^{2\pi i/7}) \] darstellen. Es gibt 120 Tetraeder, deren Kanten von Geraden \(g\) gebildet werden. Jede Gerade \(g\) kommt in einem Tetraeder vor, und es gruppieren sich daher diese Geraden zu 360 Paaren von Gegengeraden, welche als Gegenkanten in einem Tetraeder auftreten. Außer den Tetraederecken und -Ebenen gibt es noch 840 Punkte \(P\) und ebensoviele Ebenen \(\pi\), welche mit je drei Geraden \(g\) inzident sind. Jede Gerade \(g\) ist entweder mit 7 Punkten \(P\) und keiner Ebene \(\pi\) (Gerade erster Art), oder mit 7 Ebenen \(\pi\) und keinem Punkt \(P\) inzident (Gerade zweiter Art). Zwei Gegengeraden sind stets von verschiedener Art. Daher enthält jedes Tetraeder eine ausgezeichnete Ecke, deren drei Kanten von derselben Art sind. Eine genauere Untersuchung zeigt, daß sie von der zweiten Art sind, so daß also die der ausgezeichneten Ecke gegenüberliegende “ausgezeichnete Ebene” drei Geraden erster Art enthält. Die ausgezeichneten Ecken und Ebenen der 120 Tetraeder sind identisch mit den “Hauptecken” und Hauptebenen der Konfiguration von Maschke.

Citations:

JFM 29.0115.02
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References:

[1] Bestimmung aller ternären und quaternären Kollineationsgruppen, welche mit symmetrischen und alternierenden Buchstabenvertauschungsgruppen holoedrisch isomorph sind. Math. Ann. Bd. 51, S. 253.
[2] Zur Theorie der allgemeinen Gleichungen sechsten und siebenten Grades. Math. Ann. Bd. 28, S. 499. · JFM 19.0082.03
[3] I gruppi finiti reali di sostituzioni lineari quaternarie. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Bd. 15 (1901), S. 161. Vergl. auch Blichfeldt, Math. Ann. Bd. 60, S. 204.
[4] Über eine merkwürdige Konfiguration gerader Linien im Raume. Math. Ann. Bd. 36, S. 190. · JFM 21.0534.02
[5] a. a. O. S. 209. Herr Maschke beweist (§ 4), daß die sechs Hauptpunkte 1, 2, 3, 4, 5, 6 dreimal in der Weise harmonisch liegen, daß (1, 5) von (2, 4); (2, 6) von (3, 5); (1, 6) von (3, 4) harmonisch getrennt werden, und nennt solche sechs Punkte ?metharmonisch?. Da in der Tabelle bei Herrn Maschke S. 197 die Punkte 1, 2, 3 und 4, 5, 6 durch (x 1 x 3 x 2) (x 4 x 6 x 5) sich zyklisch vertauschen, so kann man sechs metharmonische Punkte auch erklären als zwei zu derselben ternär-zyklischen Projektivität einer Geraden gehörige Punktetripel (1, 2, 3), (4, 5, 6), die so liegen, daß (1, 5) von (2, 4) harmonisch getrennt werden Die beiden Punktetripel sind dann die Systeme der Imprimitivität (vergl. unten § 5).
[6] Vergl. Maschke, a. a. O. S. 200f.
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