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Contribution à la théorie des singularités des équations différentielles du premier ordre. (French) JFM 39.0374.03

Verf. untersucht die Differentialgleichungen von der Form \[ (1) \qquad x^2\;\frac{dy}{dx}= \alpha y+f(x,y) \quad (\alpha \neq 0), \] in denen \(f(x, y)\) eine in der Umgebnng von \(x = 0, y = 0\) holomorphe Funktion von \(x\) und \(y\) ist, die für \(x = 0, y = 0\) verschwindet (vgl. Briot et Bouquet, J. de l’Éc. Pol. Cahier 36, 161 ff., 1856; Picard, Traité d’Analyse T. 3, 35-39): Da \[ (2)\qquad \left[ \frac {d^n \left( x^2 \frac{dy}{dx} \right)}{dx^n}\right]_{x=0} = n(n-1) \left[ \frac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}} \right]_{x=0},\quad \left[ \frac{d^{n} (xy)}{dx^{n}} \right]_{x=0} =n \left[ \frac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}} \right]_{x=0}, \] ist, so läßt sich die der Differentialgleichung (1) formell genügende Reihe mit der nach Weierstraß (Abh. aus der Funktionenlehre) konvergenten Reihe \(y(x)\) vergleichen, welche der Gleichung \[ xy = \alpha y + f(x, y) \] genügt und für \(x = 0\) verschwindet. Man erkennt so, daß der in dem ersten der beiden Ausdrücke (2) auftretende Faktor \(n-1,\) vom Verf. “Divergenzfaktor” genannt, die eigentliche Ursache für die im allgemeinen stattfindende Divergenz jener formell genügenden Reihe ist. Dadurch gelangt Verf. zu den folgenden Sätzen: 1. Ist \(\gamma_1 x +\gamma_2 x^2 + \cdots + \gamma_n x^n + \cdots\) die Taylorsche Entwicklung, welche formell der Gleichung (1) genügt, so ist \(\lim_{n=\infty} \root n \of {\gamma_n} : \root n \of {(n- 1)! }\) eine endliche Größe. 2. Wenn in der Gleichung \[ (3)\qquad x^2y' =\alpha y + xB(x) + xB_1(x)y + B_2(x)y^2 + \cdots (\alpha \neq 0) \] die Koeffizienten der die Funktionen \(B(x), B_1(x), B_2(x), \dots\) definierenden Reihen reell und negativ sind, so besitzt die Gleichung (3) für keinen Wert von \(\alpha\) ein holomorphes Integral. (Verallgemeinerung eines sehr speziellen Picardschen Resultates). 3. Ist \(B_1(x) = 0\) und \(B(x)\) ein Polynom, so besitzt die Differentialgleichung (1) nur für solche Werte \(u = 1/\alpha\) em in der Umgebung von \(x = 0\) holomorphes, für \(x = 0\) verschwindendes Integral, für welche eine ganze transzendente Funktion \(g(u)\) verschwindet; die Menge der Werte von \(u,\) für welche ein holomorphes Integral existiert, ist also abzählbar mit einem einzigen Grenzpunkt im Unendlichen. (Verallgemeinerung eines Satzes von Briot und Bouquet). (Siehe auch JFM 39.0374.02)

Citations:

JFM 39.0374.02
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Full Text: DOI Numdam EuDML