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Über die Abgrenzung der Lösungen einer algebraischen Gleichung. (German) JFM 39.0124.02

Die Wurzeln der Gleichung \[ a_0x^n+ a_1x^{n-1}+ a_2x^{n-2}+ \dots+ a_{n-1}x + a_n=0, \] in welcher die Koeffizienten beliebige komplexe Größen sind, liegen bekanntlich innerhalb eines Kreisringes mit den Radien \(M+1\) und \(\frac {1} {m+1}\), wo \(M\) der größte der absoluten Beträge \(\mid \frac {a_1} {a_0} \mid , \mid \frac {a_2} {a_0}\mid ,\dots, \mid \frac {a_n} {a_0}\mid ,m\) der größte der absoluten Beträge \(\mid \frac {a_0} {a_n} \mid , \mid \frac {a_1} {a_n} \mid ,\dots, \mid \frac {a_{n-1}} {a_n} \mid \) ist. \(M\) und \(m\) hängen nicht vom Grade der Gleichung ab. Verzichtet man auf die Unabhängigkeit von \(n\), so kann man, wie Koenigsberger in der vorliegenden Arbeit zeigt, den Kreisring verengern. Indem man sich (was ja zulässig ist) auf die obere Grenze beschränkt, findet man in ziemlich einfacher Weise als Radius des äußeren Kreises, wenn \(M<\frac 1 n\), eine zwischen \(M\) und \(\frac {n} {n+1} (M+1)\) liegende Zahl \(\alpha\), wenn \(M=\frac 1 n\), die Zahl 1, und wenn \(M>\frac 1 n\), eine Zahl \(\beta\), für welche, fallls \(M \leqq n\), \(\frac n {n+1} (M+1)<\beta<M+1\), und falls \(M>n,M<\beta<M+1\). Die Zahl \(\alpha\), bezügl. \(\beta\) ist die einzige positive reelle Wurzel, welche die Gleichung \(r^{n+1}-(M+1)r^n+M=0\) außer der Wurzel \(r=1\) besitzt. Um sie für jeden Wert von \(M\) berechnen zu können, entwickelt Koenigsberger die durch die letzte Gleichung bestimmte Funktion \(r\) von \(M,n\) in Reihen in der Umgebung der Stellen \(M=0,M=\frac 1 n, M=\infty\). Diesen Reihenentwicklungen und der Feststellung iher Konvergenzbereiche ist der größte Teil der Arbeit gewidmet.
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