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Recherches sur les fractions continues algébriques. (French) JFM 38.0438.01

Der Quotient von zwei Reihen, die nach fallenden Potenzen von \(x\) geordnet sind: \[ S_{0}=a_{0^k}x^{k}+a_{0^{k-1}}x^{k-1}+\cdots, \quad S_{1}=a_{1^{k-1}}x^{k-1}+a_{1^{k-2}}x^{k-2}+\cdots \] führt durch das klassische Verfahren für die Ermittlung des größten gemeinsamen Teilers im allgemeinen zu einer Kettenbruch-Entwicklung: \[ (1) \quad \quad S_{0}/S_{1}=a_{1}x+b_{1}\overset{.}{-} \frac{1}{a_{2}x+b_{2}}\overset{.}{-} \frac{1}{a_{3}x+b_{3}}\overset{.}{- }\cdots, \] die endlich oder unendlich ist, je nachdem der Bruch \(S_{0}/S_{1}\) sich auf eine rationale Funktion von \(x\) reduziert oder nicht. Die Form (1) nennt Auric die kanonische Form, zum Unterschied von singulären Kettenbruch-Entwicklungen der Form: \[ S_{0}/S_{1}=R_{1}\overset{.}{-}\frac{1}{R_{2}}\overset{.}{-}\frac{1}{R_{3}}\overset{.}{-}\cdots, \] wo \(R_{1},R_{2},R_{3},\dots\) ganze rationale Funktionen von \(x\) bedeuten. Daneben betrachtet er aber auch verallgemeinerte kanonische Formen, die entstehen, wenn der Maximalgrad von \(S_{1}\) nicht gleich \(k-1\), sonderngleich \(k-i\) ist.
In dem ersten Kapitel werden allgemeine Formeln aufgestellt, die es ermöglichen, irgendeinen Rest \(S_{i}\), der sich bei dem Verfahren des größen gemeinsamen Teilers ergibt, als Funktion von irgendwelchen zwei anderen Resten auszudrücken. Das zweite Kapitel enthält Untersuchungen über die Konvergenz des Kettenbruches nach der Art des Wachsens oder Abnehmens des Quotienten \(S_{0}/S_{n}\) für \(n=\infty\). Bei der Bestimmung des Konvergenzbereiches wird man zu den Schnitten von Hermite und Stieltjes geführt. Nach diesen allgemeinen Untersuchungen geht der Verf. zu besonderen Kettenbrüchen über und betrachtet im dritten Kapitel zunächst Kettenbrüche der Form: \[ f_{1}\overset{.}{-}\frac{1}{f_{2}}\overset{.}{-}\frac{1}{f_{3}}\overset{.}{-}\cdots \] und \[ 1\overset{.}{-}\frac{g_{2}}{1}-\overset{.}{-}\frac{g_{3}}{1}\overset{.}{-}\cdots, \] wo \(f_{1},f_{2},f_{3},\dots\) und \(g_{1},g_{2},\dots\) ganze rationale Funktionen von \(x\) und \(1/x\) bezeichnen, deren Koeffizienten für \(n=\infty\) gegen Null konvergierten. Er studiert die meromorphen oder quasimeromorphen Funktionen, die durch solche Kettenbrüche definiert werden, also im besonderen die Eigenschaften, die ihnen im Sinne der modernen Theorie der ganzen und quasiganzen transzendenten Funktionen zukommen. Das vierte Kapitel bezieht sich auf periodische Kettenbrüche: \[ Y=f\overset{.}{-}\frac{g}{f}\overset{.}{-} \frac{g}{f}\overset{.}{-}\cdots, \] die beständig gleich der Wurzel größten absoluten Betrages der Gleichung: \[ (3) \quad \quad \quad Y^{2}-fY+g=0 \] sind. Der Konvergenzbereich besteht hier aus der ganzen Ebene mit Ausnahme der Kurvenstücke, auf denen die beiden Wurzeln denselben absoluten Betrag haben; diese Kurven bilden im Sinn von Hermite einen wirklichen Schnitt. Im Anschlußhieran werden Kettenbrüche der Form betrachtet: \[ f_{1}\overset{.}{-}\frac{g_{2}}{f_{2}}\overset{.}{-} \frac{g_{3}}{f_{3}}\overset{.}{-}\cdots, \] bei denen die ganzen rationalen Funktionen \(f_{1},f_{2},\dots\) und \(g_{1},g_{2},\dots\) von \(x\) und \(1/x\) für \(n=\infty\) die Funktionen \(f\) und \(g\) zu Grenzen haben. In dem fünften Kapitel werden zunächst gewisse Sätze von Stieltjes verallgemeinert; darauf geht Auric auf eine Verallgemeinerung des Kettenbruch-Algorithmus ein, mit der er sich schon früher beschäftigt hatte (F. d. M. 33, 225, 1902, JFM 33.0225.01 und 36, 295, 1905, JFM 36.0295.01). Das sechste Kapitel der reichhaltigen Abhandlung, die mit dem großen Preis der Pariser Akademie ausgezeichnet worden ist, enthält endlich verschiedene Anwendungen; im besonderen wird dabei der Zusammenhang zwischen einer Taylorschen Reihe \(S_{1}=c_{1}x^{-1}+c_{2}x^{-2}+c_{3}x^{-3}+\cdots\) und der zugehörigen Kettenbruchentwicklung der kanonischen Form (1) für \(1/S_{1}\) erörtert.

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Full Text: EuDML