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Sur le problème de Dirichlet. (French) JFM 38.0392.01

Der Verf. löst die Aufgabe, für einen benen Bereich \(D\) die der Gleichung \(\varDelta u=0\) genügende Funktion mit vorgeschriebenen Randwerten zu konstruieren, unter möglichst allgemeinen Voraussetzungen über den Bereich und die Randfunktion; ersterer braucht nur endlich zusammenhängend, letztere nur stetig zu sein. Wegen der Allgemeinheit des Begriffes Bereich, den er zugrunde legt, bedarf der Verf. zunächst einiger Auseinandersetzungen, über die sich nicht kurz referieren läßt. Im übrigen zeigt seine Methode sowohl mit der von Hilbert (F. d. M. 32, 227, 1901, JFM 32.0299.01) als mit der Poincaréschen Méthode de Balayage Berührungspunkte (vgl. die verwandten Methoden von Beppo Levi, F. d. M. 37, 414, 1906, JFM 37.0414.06; Fubini, Referate vorstehend, JFM 38.0390.02).
Bemerkungen über die stetige Variation der Lösungen der Randwertaufgabe mit den Randbedingungen und über die Tragweite des Schwarzschen alternierenden Verfahrens, sowie der Poincaréschen Méthode de balayage beschließen die Abhandlung.

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References:

[1] 10)Über das Dirichlet’sche Princip [Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, t. VIII (1900), pp. 184–188], traduit parM. L. Laugel [Nouvelles Annales de Mathématiques, 3e série, t. XIX (1900), pp. 337–344; 20)Über das Dirichlet’sehe Prinzip [Festschrift zur Feier des 150 jährigen Bestehens der Kgl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 1901; Mathematische Annalen, t. LIX, (1904), pp. 161–186].
[2] A cette occasionM. Hilbert citeBendixson etTownsend. La propriété était connue antérieurement; elle résulte du théorème fondamental sur les fonctions également continuesAscoli,Le curve limiti di una varietà data di curve [Memorie délia classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali della R. Accademia dei Lincei, vol. XVIII (1883), pp. 521–586] et d’un caractère d’égale convergenceArzelà,Sulle funzioni di linee [Memorie della R. Accademia dell’Istituto di Bologna, sezione delle Scienze Fisiche e Matematiche, s. V, t. V (1895), pp. 225–244].
[3] Sur la définition de l’aire d’une surface [Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences (Paris), t. CXXIX (2e semestre 1899), pp. 870–873 (séance du 27 novembre 1899)].
[4] Sur la définition de certaines intégrales de surfaces [Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences (Paris), t. CXXXI (2e semestre 1900), pp. 867–870 (séance du 26 novembre 1900)];Sur le minimum de certaines intégrales [Ibid, id., pp. 935–937 (séance du 3 décembre 1900)].Voir aussi ma Thèse:Intégrale, Longueur, Aire [Annali di Matematica pura ed applicata, 3e série, t. VII (1902), pp. 231–359].
[5] Au contraire une restriction subsiste pour les domaines à connexion infinie.
[6] Sur quelques questions de calcul des variations [Annales scientifiques de l’École Normale supérieure, 3e série, t. XXIV (1907), pp. 203–231].
[7] Sur le principe de Dirichlet [Bulletin de la Société Mathématique de France, t. XXXIV (1906), pp. 135–138].
[8] Sur le problème de Dirichlet et son extension au cas de l’équation linéaire générale du second ordre [Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, ière série, t. VI (1892), pp. H.1–H.75].
[9] 10)Il principio di minimo e i teorerni di esistenza per i problemi al contorno relativi alle equazioni alle derivate parziali di ordine pari [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, t. XXIII (ier semestre 1907), pp. 58–84]; 2{\(\deg\)}) (supplément)Il principio di minimo [Ibid., id., pp. 300–301]. Ce travail, ainsi que diverses Notes du même auteur [3{\(\deg\)}) Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, t. XXII (2e semestre 1906), pp. 383–386; 4{\(\deg\)}) Rendiconti délia R. Accademia dei Lincei, vol. XVI, ier semestre 1907, pp. 162–167, 215–220, 608–614], a été publié à la suite d’un intéressant Mémoire deM. Beppo Levi,Sul principio di Dirichlet [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, t. XXII (2e semestre 1906), pp. 293–360]. J’ai utilisé plusieurs des raisonnements de ces Auteurs.
[10] Cours d’Analyse, 2e édition, tome I, nos 97–104.
[11] Dans un article deM. Schoenflies,Ueber einen grundlegenden Satz der Analysis Situs [Nachrichten von der Kgl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Math.-physikalische Klasse, 1902, pp. 185–192], on verra comment on peut distinguer les deux espèces de domaines simplement connexes.
[12] C’est la définition générale des ensembles d’un seul tenant; elle est tirée du no 51 duCours d’Analyse deM. Jordan.
[13] Pour les démonstrations voirJordan, loc. cit., nos 62 à 64.
[14] Voir par exemple mesLeçons sur l’intégration, page 129.
[15] Voir Chap. II, § 9.
[16] Voir l’article cité 8).
[17] Chapitre II, §§ 30 à 32. La même méthode s’applique évidemment quel que soit le nombre des variables.
[18] Voir Harnack:Ueber die trigonometrische Reihe und die Darstellung willkürlicher Functionen [Mathematische Annalen, t. XVII (1880), pp. 123–132];Vereinfachung der Beweise in der Theorie der Fourier’sehen Reihe [Ibid., t. XIX (1882), pp. 235–279 et 524–528];Théorie de la série de Fourier [Bulletin des Sciences Mathématiques et Astronomiques, 2ème série, t. VI (1882), ière partie, pp. 242–260, 265–280, 282–300]. Certains des raisonnements de ces Mémoires manquent totalement de rigueur, plusieurs des théorèmes donnés sont inexacts.
[19] On sait que ce théorème est très général.Voir un Mémoire deM. Hurwitz Über die Fourier’schen Konstanten integrierbater Funktionen [Mathematische Annalen, t. LVII (1903), pp. 425–446] et la Thèse deM. Fatou Séries trigonométriques et séries de Taylor [Acta Mathematica, t. XXX (1906), pp. 335–400].
[20] M. Hilbert emploie dans son second Mémoire des transformations analogues.M. Fubini 10) i{\(\deg\)}) utilise un théorème d’unicité analogue à celui du texte.
[21] Chapitre II, § 7.
[22] Voir le 2e Mémoire deM. Hilbert. Une partie des raisonnements deM. Hilbert sert à prouver que la suite analogue àw 1,w 2, ..., qu’il considère, a une limite. Lorsque, comme ici, l’existence de cette limite est connue, cette partie des raisonnements devient inutile et la démonstration prend la forme queM. Fubini a indiquée 10) 30).
[23] Sur le problème de Dirichlet [Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences (Paris), t. CXLIV (ier semestre 1907), pp. 316–318 (séance du 11 février 1907)].
[24] Voir le ier Chapitre, ou ma Thèse, § 99. L’énoncé doit être quelque peu modifié, parce qu’il ne s’agit plus de surfaces simplement connexes.
[25] C’est une remarque analogue qui sert déjà pour démontrer l’existence de la surface limite.
[26] C’est la remarque qui joue le rôle fondamental dans le travail deM. Fubini 10) i{\(\deg\)}). Sous une autre forme, par l’emploi d’un théorème deM. Pringsheim,M. Beppo Levi avait utilisé dans son Mémoire déjà cité 10) des remarques analogues (voir en particulier § 32, note 3 de ce Mémoire).
[27] Voir le parti qu’en a tiréM. Fubini 10) 3{\(\deg\)}). J’avais cru un instant pouvoir simplifier le raisonnement indiqué dans le texte en démontrant l’existence de droites non exceptionnelles issues d’un point quelconqueP par un raisonnement analogue à celui qui prouve l’existence de droites non excepti onnelles parallèles aux axes, les coordonnées polaires remplaçant les coordonnées cartésiennes. Mais cet artifice, qui pourrait être employé pour certaines intégrales, ne réussit pas ici.
[28] Voir au Chapitre II la définition adoptée pour les domaines et en particulier la condition 4{\(\deg\)} imposée à ces domaines.
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