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Über duale Zahlen und ihre Anwendung in der Geometrie. (German) JFM 37.0486.01

Unter dualen Zahlen versteht man nach Study Zahlen \(u+v\varepsilon\), wo \(u\) und \(v\) gewöhnliche komplexe Zahlen sind und \(\varepsilon^2=0\) ist. Die dualen Zahlen lassen sich ein-eindeutig in geometrisch anschaulicher Weise den reellen und imaginären Punkten eines Kegels zuordnen; durch duale Übertragung demgemäß auch den Tangentialebenen eines Kegelschnitts, im speziellen den Minimalebenen und den ihnen ein-eindeutig zugeordneten orientierten Raumgeraden, den “Speeren”. Es werden nun die Eigenschaften der dualen Zahlen dazu benutzt, um die Transformationen des Zahlenkegels und ganz besonders der Speere in sich abzuleiten und überhaupt die Geometrie der Raumspeere zu untersuchen, wobei zum Teil bekannte Verhältnisse eine sehr einfache Darstellung erfahren, wie z. B. die Ribaucoursche Theorie der isotropen Kongruenzen. Zum Schluß wird bemerkt, daß man durch Einführung höherer komplexer Zahlen auch imaginäre Geraden mit in die Betrachtung ziehen kann.

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References:

[1] Am 27. Sept. 1905.
[2] Behandelt auf dem Naturforschertage, vgl. die vorige Anm. Bei der auf den dort gehaltenen Vortrag folgenden Diskussion ist von geschätzter Seite die Bemerkung gemacht worden, daß dieses Abbildungsprinzip bereits von Herrn E. v. Weber in den Berichten der bayr. Akademie, bezw. sächs. Gesellschaft sowie in diesen Monatsheften angegeben und verwertet worden sei. Dies beruht auf einem Irrtum, indem in den gemeinten Arbeiten (Münchener Sitzungsber. 1904, S. 447–483, Leipziger Ber. 1903, S. 384–408, Wiener Monatshefte 1905, S. 217–229) von dualen Zahlen überhaupt nicht die Rede ist.
[3] Vgl. E. Study, ”Geometrie der Dynamen”, S. 197. · JFM 31.0691.02
[4] Die Bedenken, welche E. Study gegen den unzulänglich motivierten Gebrauch des SymbolsJ = {\(\epsilon\)} bei Herrn R. de Saussure erhebt (vgl. E. study, Geom. d. Dyn., S. 208), treffen keineswegs die hier vorliegende Verwendung dieses Symbols; hier dient dieses Symbol lediglich zur Bezeichnung der verschiedenen unendlich großen dualen Zahlen, welch letztere hier in legitimer Weise eingeführt werden.
[5] Vgl. zu diesem Begriffe die Darlegungen in der ”Geometrie der Dynamen” von E. Study, § 27 (S. 247 u. d. f.).
[6] nicht ausgeartete.
[7] Willkürlich deshalb, weil der vektorielle Teil des Doppelverhältnisses für die verschiedenen Klassen von Zuordnungen verschieden ausfällt.
[8] Dieser Differentialquotient ist zunächst nur definiert, wenn das im Nenner vorkommende Differentialdu nicht Null ist, also der skalare Bestandteil indw von Null verschieden ist.
[9] Die beiden Erzeugenden werden durch die Transformation perspektiv auf einander bezogen.
[10] Vgl. E. Study: ”Über Nicht-Euklidische und Liniengeometrie” im Jahresbericht der deutschen Mathematikervereinigung, 1902, S. 319.
[11] /U, /V, /W sind die Abschnitte dieser Ebene auf den Koordinatenachsen.
[12] Vgl. (50).
[13] Die angewendete Schlußweise entspricht dem Übertragungsprinzip von E. Study (”Geom. d. Dyn.”, § 25).
[14] Vgl. etwa Mathematische Annalen, Jahrgang 1892.
[15] {\(\Theta\)} entspricht dem Winkel l. {\(\Phi\)} dem Beiwinkel in § 11.
[16] Die skalaren Teile von {\(\delta\)}w 1 * , {\(\delta\)}w 2 * und ebenso von {\(\delta\)}w 1, {\(\delta\)}w 2 werden als von Null verschieden vorausgesetzt.
[17] Bei entsprechender Orientiernng der kürzesten Transversalen der Speere des Tripels.
[18] Es folgt dies unmittelbar daraus, daßw’ eine ”synektische” Funktion vonw ist (vgl. § 6).
[19] Die zus 0,s 1,s 2 unds’ 0,s’ 1,s’ 2 gehörigen dualen Zahlen können als endliche duale Zahlen angenommen werden, weil dies nötigenfalls immer durch Veränderung des Koordinatensystems erreicht werden kann. Die skalaren Teile von {\(\delta\)}w 1 und {\(\delta\)}w 2 werden im Texte als von Null verschieden vorausgesetzt. Von etwaigen Ausnahmestellen abgesehen, ist auch der skalare Teil vondw’/dw von Null verschieden und daher sind auch die skalaren Teile von {\(\delta\)}w’ 1 und {\(\delta\)}w’ 2 von Null verschieden.
[20] Vgl. die Verhandlungen des internationalen Mathematikerkongresses zu Heidelberg (1894), S. 349–356, sowie den 60. Band der Mathematischen Annalen, S. 491–531.
[21] Siehe oben S. 33.
[22] Für eine solche Developpable, deren erzeugende Ebenen Minimalebenen sind, ist neuerdings der Name ”Minimaldeveloppable” gebräuchlich geworden.
[23] Vgl. die in der Anmerkung auf S. 1 zitierten Arbeiten.
[24] Man verifiziert leicht, daß ein Zyklus von Speeren aus den in bestimmter Weise orientierten Erzeugenden einer Konfokalschar von Rotationshyperboloiden besteht, wobei die Orientierung der Erzeugenden derartig ist, daß durch orthogonale Projektion der orientierten Erzeugenden auf die Ebene der Kehlkreise der Hyperboloide die in übereinstimmender Weise orientierten Tangenten der Kehlkreise sich ergeben. (Vgl. E. v. Weber l. c.) Das Zentrum des Zyklus ist identisch mit dem gemeinsamen Mittelpunkt der Konfokalschar, der Kernpunkt liegt auf der gemeinsamen Rotationsachse der Konfokalschar.
[25] Vgl. Anmerkung2) auf S. 45.
[26] Ist insbesondere die in der Weierstraßschen Darstellung (64) einer MinimalflächeK auftretende FunktionF(u) eine ganze quadratische Funktion vonu: F(u)=A 1+B 1 u+C 1 u 2, so ist die zugehörige isotrope Kongruenzv=2i F (u) ein Zyklus, die Mittelenveloppe dieser Kongruenz reduziert sich auf das Zentrum des Zyklus und die MinimalflächeK reduziert sich also auf einen einzigen Punkt.
[27] Über diese Gruppe ist zu vergleichen: E. v. Weber, Die komplexen Bewegungen. (Berichte der sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften, 1903.) Diese Gruppe gehört – wie aus dem Obigen unmittelbar hervorgeht – zu den dual-konformen Transformationen des § 14.
[28] Diese werden im folgenden stets so gewählt gedacht, daß das zugehörige Doppelverhältnis einen völlig bestimmten Wert besitzt.
[29] Herr E. Study gebraucht für das analoge Gebilde in der Nicht-Euklidischen Geometrie das Wort: ”zyklische Kongruenz” (Jahresbericht der deutschen Mathematikervereinigung, 1902: Über Nicht-Euklidische und Liniengeometrie, S. 333.) Hier müssen wir, um Verwechslungen vorzubeugen, diese Benennung vermeiden.
[30] Vgl. in Koenigs ”Leçons de Cinématique (Paris 1897, p. 352) die Note von Darboux sowie auch A. Grünwalds Abh. in der Zeitschrift für Math. u. Physik (1906): ”Die Mannheim-Darbouxsche Umschwungsbewegung eines starren Körpers”. Die allgemeinste Bewegung dieser Art erhält man beim inwendigen Abrollen eines geraden Kreiszylinders vom Durchmessera auf einem doppelt so weiten (unter Gestattung des Gleitens nur in der Richtung der Zylindererzeugenden), wenn hiebei ein mit dem ersten Zylinder starr verbundener Punkt auf einer mit dem zweiten Zylinder fest verbundenen Ebene zu bleiben gezwungen wird. Die ”Umschwungsbewegung” im Texte entspricht dem Grenzfalla=0.
[31] Die naheliegende Bezeichnung ”Quirl” von Speeren dürfte wohl mit Rücksicht auf die anderweitige Verwendung dieser Bezeichnung bei Herrn E. Study nicht ganz frei von Bedenken sein.
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