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Über den Eisensteinschen Satz von dem Charakter der Koeffizienten der Reihenentwicklungen algebraischer Funktionen. (German) JFM 37.0437.01

In der vorliegenden Abhandlung entwickelt der Verf. allgemeine funktionentheoretische Sätze, die die von Eisenstein 1852 nur flüchtig angedeuteten Sätze und die daran anknüpfenden Bemerkungen von Heine und Hermite als ganz spezielle Fälle umfassen. Es wird genügen, die Bedeutung der Untersuchung des Verf. durch den folgenden Satz zu kennzeichnen.
Es sei \(y\) als Funktion von \(x\) durch die Gleichung \[ f(x,y)=\varphi_0(x)y^n+\varphi_1(x)y^{n-1}+\dotsm +\varphi_{n-1}(x)y+\varphi_n(x)=0 \] definiert, deren Koeffizienten \(\varphi_i(x)\) in der Umgebung einer Stelle \(x=\xi\) den Charakter ganzer Funktionen besitzen; dann gilt der Satz: Wenn die Koeffizienten einer in \(y\) algebraischen Gleichung \(f(x,y)=0\) in der Umgebung eines Wertes \(x=\xi\) den Charakter ganzer Funktionen haben, und es ist für einen dem \(\xi\) zugehörigen endlichen Wert \(\eta\) von \(y\) der Ausdruck \((\partial f(x,y)/\partial y)_{\xi ,\eta}=\chi\) von Null verschieden, also \(\eta\) eine einfache Wurzel der Gleichung \(f(\xi ,y)=0\), so ist \(y\) in der Umgebung von \(x=\xi\) in eine Potenzreihe von der Form \(y=\eta+G_1\frac {x-\xi}{\chi}+G_2\frac {(x-\xi )^2}{\chi^3}+\dotsm +G_{\nu}\frac {(x-\xi)^{\nu}}{\chi^{2\nu -1}}+\dotsm\) entwickelbar, worin \(\chi,G_1,G_2,\dots\) ganze und ganzzahlige Funktionen von \(\xi ,\eta\) und den Koeffizienten der Reihen für die \(\varphi_i(x)\) sind.

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Full Text: DOI Crelle EuDML