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Die Zerlegung von Zahlen mit Hülfe periodischer Kettenbrüche. (German) JFM 37.0216.03

Der Verf. zeigt, wie man in gewissen Fällen Faktoren von großen Zahlen sehr einfach berechnen kann. Man entwickle \(\sqrt D\) in einen Kettenbruch, dann fasse man alle Zahlen, die die gleiche Periode, mit Ausschluß des letzten Periodengliedes, haben, zu einem Typus zusammen. Alle diese Zahlen stellen sich dar in der Form: \[ u^2n^2+2tn+D\quad (n=0,1,2,\dots ), \] wo \(t^2-Du^2=\pm 1\) und \(D\) die niedrigste Zahl ist. Setzt man die Kettenbruchentwicklung \(\sqrt D\) bis zum vorletzten Glied einer Periode gleich \(\frac ab\), so ist für \(x=E(\sqrt D)\), \(y=D\): \((bx+a)^2=b^2y\pm 1\).
Ist nun die Anzahl der Perioden von \(a/b\) ungerade (ungerader Typus), so ist \[ u^2n^2+2tn+D=\left( Q^2n+\frac {t_D\pm 1}{M^2}\right)\left( M^2n+\frac {t_D\mp 1}{Q^2}\right) \] oder \[ =\left( 2\left[\frac Q2\right]^2n+\frac {t_D\pm 1}{2m^2}\right)\left(2M^2n+\frac {t_D\mp 1}{2(Q/2)^2}\right) , \] wo \(Q, M,P\) aus der Kettenbruchentwicklung zu berechnen sind. Hat man also eine Zahl \(k=36343817\) von ungeradem Typus, so berechne man durch Kettenbruchentwicklung \(\frac ab=\frac 7{12}\), nehme die kleinste Lösung von \((12x+7)^2=12^2.y+1\): \(x=4\), \(y=21\); dadurch ist der Typus \(D=21\) gefunden; da \(M=2\), \(Q=6\), \(t_{21}=55\), \(u=12\), so wird \(36343817=k=(2.3^2n+7)(2.2^2n+3)\), woraus \(n=502\) und \(36343817=9043.4019\).
Für Zahlen von geradem Typus ist das Verfahren nicht anzuwenden.
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