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Einige Bemerkungen über Determinanten. (Czech) JFM 37.0185.03

1. Zuerst wird darauf hingewiesen, daß bilineare Relationen zwischen den Determinanten \(\mu\)-ten Grades einer Matrize \(a_{ik}\) \((i=1,2,\dots ,m;k=1,2,\dots ,n)\) vom Range \(\mu\) aus der Betrachtung der Determinante \[ D=\begin{vmatrix} a_{i_1j_1} & a_{i_1j_2} & \dots & a_{i_1j_{\mu}} & x_1a_{i_1k_1} & x_2a_{i_1k_2} & \dots & x_{\mu}a_{i_1k_{\mu}} \\ a_{i_2j_1} & a_{i_2j_2} & \dots & a_{i_2j_{\mu}} & x_1a_{i_2k_1} & x_2a_{i_2k_2} & \dots & x_{\mu}a_{i_2k_{\mu}} \\ . & . & \dots & . & . & . & \dots & . \\ a_{i_{\mu}j_1} & a_{i_{\mu}j_2} & \dots & a_{i_{\mu}j_{\mu}} & x_1a_{i_{\mu}k_1} & x_2a_{i_{\mu}k_1} & \dots & x_{\mu}a_{i_{\mu}k_{\mu}} \\ a_{l_1j_1} & a_{l_1j_2} & \dots & a_{l_1j_{\mu}} & ya_{l_1k_1} & ya_{l_1k_2} & \dots & ya_{l_1k_{\mu}} \\ a_{l_2j_1} & a_{l_2j_2} & \dots & a_{l_2j_{\mu}} & ya_{l_2k_1} & ya_{l_2k_2} & \dots & ya_{l_2k_{\mu}} \\ . & . & \dots & . & . & . & \dots & . \\ a_{l_{\mu}j_1} & a_{l_{\mu}j_2} & \dots & a_{l_{\mu}j_{\mu}} & ya_{l_{\mu}k_1} & ya_{\l_{\mu}k_2} & \dots & ya_{l_{\mu}k_{\mu}} \end{vmatrix} \] abgeleitet werden können. Diese Determinante ist nämlich gleich dem Polynome \[ D=A(y-x_1)(y-x_2)\dots (y-x_{\mu}). \] 2. Der Satz von Rados (Math. Ann. 48, 417; F. d. M. 27, 110, 1896, JFM 27.0110.03) wird auf die Determinanten der Form \[ |a_{ik}x+b_{ik}y|,\quad (i,k=1,2,\dots ,n) \] ausgedehnt. Dieser verallgemeinerte Radossche Satz wird zur Ableitung dreier Determinantensätze angewendet, insbesondere zur Ableitung des folgenden Satzes. Es seien zwei Formen gegeben: \[ |a_{ik}x+b_{ik}y|=\varPi_l(\alpha_lx+\beta_ly)\quad (i,k,l=1,2,\dots ,n), \]
\[ |c_{i_1'k_1'}x+b_{i_1'k_1'}y|=\varPi_{l_1'} (\gamma_{l_1'}x+\delta_{l_1'}y) \quad (i_1',k_1',l_1'=1',2',\dots ,n_1). \] Dann ist \[ |a_{ik}c_{i_1'k_1'}x+b_{ik}d_{i_1'k_1'}y|=\pm\prod_{l,l^{{}'}_1} (\alpha_l\gamma_{l_1'}x+\beta_l\delta_{l_1'}y). \] Die Elemente einer Zeile der Determinante auf der linken Seite (vom Grade \(nn_1\)) gehören natürlich zu demselben Zahlenpaare \((i,i_1')\) und alle Elemente einer Kolonne zu demselben Paare \((k,k_1')\).
In diesem Satze ist der sogenannte Kroneckersche Satz über Determinanten (Enz. d. math. Wissensch. I A 2, Nr. 22) als Spezialfall enthalten. Der Kroneckersche Satz (sowie die betreffende Art von Komposition) ist übrigens schon im Satze von Franke (Enz. d. math. Wissensch. I A 2, Nr. 23) als Spezialfall enthalten.
Reviewer: Petr, Prof. (Prag)

Citations:

JFM 27.0110.03
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Full Text: EuDML