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Réduction d’un réseau de formes quadratiques ou bilinéaires. (French) JFM 37.0136.01

Es sei \(R=\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\dotsm +\lambda_m\varphi_m\) ein “Netz”, abgeleitet aus \(m\) quadratischen Formen \(\varphi_1,\dots ,\varphi_m\) von \(n\) Variabeln \(x_1,\dots ,x_n\) mittels \(m\) Parametern \(\lambda_1,\lambda_2,\dots ,\lambda_m\). Die Aufgabe ist, vermöge linearer Transformationen sowohl der \(x\) wie der \(\lambda\) das Netz \(R\) auf eine kanonische Gestalt zu bringen. Da sich \(R\) nicht ändert, wenn man die \(x\) mit einem beliebigen Faktor \(a\) versieht und gleichzeitig die \(\lambda\) mit dem Factor \(a^{-2}\), so beträgt die Anzahl der verfügbaren Substitutionskoeffizienten \(m^2+n^2-1\). Der gesuchte kanonische Ausdruck für \(R\) wird also im allgemeinen \(m^2+n^2-1-m.\frac {n(n+1)}2\) Invarianten enthalten.
Aber in besonderen Fällen wird \(R\) auf diesen allgemeinen Ausdruck nicht reduzierbar sein; jeder dieser Fälle führt zu einer speziellen kanonischen Gestalt. Um daher entscheiden zu können, ob zwei vorgelegte Netze \(R,R'\) äquivalent sind oder nicht, hat man zuvor eine Liste aller dieser kanonischen Gestalten, der allgemeinen wie der speziellen, aufzustellen. Indessen läßt sich das Problem der Reduktion von \(R\) auf den Fall zurückbringen, wo die Funktionen \(\varphi\) linear unabhängig sind, und wo überdies keine Substitution der \(x\) irgendeine dieser Variabeln herausfallen läßt. Die Anzahl der dann resultierenden verschiedenen kanonischen Typen von \(R\) sei mit \(N_{mn}\) bezeichnet. Da die \(\varphi\) durch lineare Relationen verbunden sind, wenn \(m>\frac {n(n+1)}2\), und wenn \(m=\frac {n(n+1)}2\), kann man vermöge einer Substitution der \(\lambda\) die kanonische Gestalt \(\sum\lambda_{ik}x_ix_k\) erzielen. Somit ist \(N_{mn}=0\) für \(m>\frac {n(n+1)}2\), und \(N_{mn}=1\) für \(m=\frac {n(n+1)}2\). Da ferner für \(m=1\) bekanntlich nur der eine kanonische Typus \(\lambda\sum_{i=1}^n x_i^2\) besteht, ist \(N_m=1\). Der Verf. beschränkt sich im weiteren auf die beiden Fälle \(m=2\) und \(n=3\).
Für \(m=2\) hat man es mit der Reduktion eines Büschels \(F=\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2\) von zwei quadratischen Formen \(\varphi_1,\varphi_2\) in \(n\) Variabeln zu tun. Das Problem der simultanen Reduktion von \(\varphi_1,\varphi_2\), vermöge einer Substitution der \(x\), darf als völlig erledigt gelten; man hat es hier nur dahin zu ergänzen, daß die Substitutionen der \(\lambda\) hinzugenommen werden, d. h. daß man \(\varphi_1,\varphi_2\) ersetzt durch zwei andere Formen des Büschels.
Die Büschel werden in einfache und zusammengesetzte unterschieden. Der letztere Fall tritt ein, wenn sich die Variabeln in Serien derart zerlegen lassen, daß \(\varphi_1=X_1+Y_1+\dotsm ,\;\varphi_2=X_2+Y_2+\dotsm\), wo die \(X_1,X_2\) nur von der ersten Serie abhängen, usf. Zunächst werden für einfache Büschel \(F\) kanonische Gestalten aufgestellt, wo die Fälle eines geraden und eines ungeraden \(n\) zu unterscheiden sind; bei ungeradem \(n\) ist besonders der Fall bemerkenswert, wo der Büschel keine Form von nicht verschwindender Determinante enthält.
Diese Ergebnisse lassen sich auf zusammengesetzte Büschel übertragen.
Daraufhin läßt sich in der Tat eine Tafel der verschiedenen reduzierten Typen für \(n=2,3,4,\dots\) herstellen.
Man hat für \(n=2\) zwei Typen, für \(n=3\) sechs, für \(n=4\) vierzehn usf.
Nunmehr werden die Netze \(R=\lambda_1\varphi_1+\dotsm +\lambda_m\varphi_m\) quadratischer ternärer Formen in Angriff genommen.
Man darf sich auf die Fälle \(m=3,4,5\) beschränken. Für \(m=3\) entspricht jedem homogenen Tripel (Punkt) \((\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)\), bis auf einen Faktor, eine Form des Netzes, die, gleich Null gesetzt, einen Kegelschnitt darstellt. Dieser heißt der Kegelschnitt des Punktes \(P=(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)\).
Sind \(\psi_1,\psi_2\) die Kegelschnitte zweier Punkte \(P_1,P_2\), so entspricht den Punkten der Geraden \(g=P_1P_2\) ein Büschel \(F=l_1\psi_1+l_2\psi_2\) von Kegelschnitten. Der Ort der Punkte \(P\), deren Kegelschnitte in ein Geradenpaar zerfallen, ist eine kubische Kurve \(\varDelta =0\). Den Schnittpunkten von \(g\) mit \(\varDelta =0\) entprechen die Formen des Büschels mit verschwindender Determinante.
Um jetzt die Reduktion des Netzes \(R\) auszuführen, wähle man als Seiten des Koordinatendreiecks der \((\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)\) Gerade, die eine invariante Beziehung zur kubischen Kurve \(\varDelta\) besitzen. Hierbei sind wiederum invariantiv verschiedene Gestalten der Kurve \(\varDelta\) zu unterscheiden. Es ergibt sich, daß die Reduktion des Netzes \(R\) im allgemeinen auf ebensoviel verschiedene Arten möglich ist, als es Paare von Wendepunkten der Kurve \(\varDelta\) gibt; gewisse Modifikationen treten für besondere Fälle ein. Eine Tabelle stellt die Gesamtheit der verschiedenen Möglichkeiten zusammen.
Im Falle \(m=4\) existiert unter den Kegelschnitten des Netzes \(R\) wenigstens eine Doppelgerade. Danach werden die Netze eingeteilt nach der Anzahl ihrer Doppelgeraden, die entweder \(>3,=3,=2,=1\) ausfällt. Im ganzen resultieren acht verschiedene Typen.
Ein ähnliches Einteilungsprinzip wird im Falle \(m=5\) befolgt.
Man erhält hier im ganzen nur fünf verschiedene Typen.

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Full Text: EuDML