Poincaré, H. Sur les lignes géodésiques des surfaces convexes. (French) JFM 36.0669.01 American M. S. Trans. 6, 237-274 (1905). Hadamard hat bekanntlich in zwei grundlegenden Arbeiten die Gestalten der geodätischen Linien auf negativ gekrümmten Flächen untersucht. In der vorliegenden Arbeit greift Poincaré dieselbe Fragestellung für die konvex gekrümmten Flächen auf, wo aber größere Schwierigkeiten zu überwinden sind. Vorausgesetzt werden analytische, durchweg konvexe Flächen, deren Hauptkrümmungsradien gewisse Grenzwerte nicht überschreiten; es sei \(ds^2=du^2+\lambda(u,v)dv^2\) das Quadrat des Linienelements, bezogen auf ein Gaußsches orthogonalgeodätisches Koordinatensystem. Nach einem Satze von Hadamard treffen sich zwei von einem Punkte ausgehende unendlich-benachbarte geodätische Linien in unendlich vielen Punkten, den Brennpunkten; die Enveloppe aller von einem Punkte ausgehenden geodätischen Linien ist die Brennlinie mit der Gleichung \(\lambda(u,v)=0\). Man betrachte eine durch einen Punkt \(O\) gehende geodätische Linie; dann gibt es immer auf ihr einen Punkt \(P\) der Eigenschaft, daß \(OP\) noch kürzeste Linie ist, während dies für jeden von \(O\) weiter entfernten Punkt der geodätischen Linie nicht mehr gilt. Den geometrischen Ort der Punkte \(P\) nennt der Verf. “Teilungslinie” (ligne de partage). Er untersucht nun speziell den Verlauf der geodätischen Linien auf einer von der Kugel in gewisser Weise unendlich wenig verschiedenen Fläche und zeigt, daß es auf ihr nur eine ungerade Anzahl geschlossener geodätischer Linien geben kann. Nachdem bewiesen ist, daß man stets von einer beliebigen konvexen analytischen Fläche mittels einer stetigen Folge ebensolcher Flächen zu einer beliebigen anderen derselben Eigenschaft übergehen kann, ergibt sich der Satz: Auf jeder analytischen konvexen Fläche gibt es stets mindestens eine geschlossene geodätische Linie ohne Doppelpunkt; ihre Anzahl ist stets ungerade. Betrachtet man nun die geodätischen Linien, die in unendlicher Nachbarschaft einer geschlossenen, \(g_0\), liegen, so läßt ihre Differentialgleichung zwei periodische Lösungen zu. Sind sie imaginär, so heißt \(g_0\) stabil, sonst instabil. Dann gilt der Satz: Auf jeder analytischen konvexen Fläche ist von den geschlossenen geodätischen Linien ohne Doppelpunkt die Zahl der stabilen von der Zahl der instabilen um \(1\) verschieden. Es gibt stets mindestens eine geschlossene stabile geodätische Linie ohne Doppelpunkt. Zum Schluß der Arbeit werden die einzelnen Typen der geodätischen Linien besprochen. Reviewer: Rothe, Prof. (Klausthal) Cited in 3 ReviewsCited in 86 Documents JFM Section:Neunter Abschnitt. Analytische Geometrie. Kapitel 3. A. Allgemeine Theorie der Flächen und Raumkurven. PDFBibTeX XMLCite \textit{H. Poincaré}, Trans. Am. Math. Soc. 6, 237--274 (1905; JFM 36.0669.01) Full Text: DOI