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Über den Fundamentalsatz in der Theorie der Funktionen \(E_\alpha(x)\). (German) JFM 36.0471.01

Als Fundamentalsatz in der Theorie der Mittag-Lefflerschen Funktion \(E_\alpha(x)\) (F. d. M. 34, 435, 1903, JFM 34.0435.01) bezeichnet Wiman den Satz, daßdiese Funktion gegen Null konvergiert, wenn \(x= r e^{i \varphi}\) bei konstantem \(\varphi\) und positivem, wachsendem \(r\) auf einem Vektor läuft, der die Bedingung: \[ \alpha\, \tfrac \pi 2 < \varphi < 2 \pi - \alpha\, \tfrac \pi 2 \] erfüllt, für die anderen Vektoren aber über alle Grenzen wächst.
Bei seinem Beweise betrachtet Wiman zuerst den Fall, daß\(\alpha=1/k\) ist, wo \(k\) eine positive ganze Zahl bedeutet. Alsdann genügt nämlich, wie bereits Mittag-Leffler angegeben hatte (fünfte Note, Formel 82), die Funktion \(E_\alpha (x)\) der linearen Differentialgleichung erster Ordnung: \[ \frac{dy}{dx} =k x^{k-1} y+k \sum_{n=1}^{k-1} \frac{x^{n-1}}{\varGamma \left( \frac nk \right) }\,. \] Hieraus findet man durch Integration mit der Anfangsbedeingung \(x=0\), \(y=1\) die Darstellung: \[ E_{1/k} (x)= e^{x^k} + e^{x^k} \cdot \int_0^x k e^{-z^k} \cdot \sum_{n=1}^{k-1} \,\frac{z^{n-1}}{\varGamma \left( \frac nk \right) } \cdot dz, \] und es lassen sich für die \(k\) Summanden auf der rechten Seite leicht asymptotische Ausdrücke aufstelle, aus denen das gewünschte Resultat erschlossen wird.
Nun gilt aber für alle positiven ganzen Zahlen \(h\) die Identität: \[ E_{h/k} (x) = \frac 1h \left\{ E_{1/k} ( x^{\frac 1h} ) + E_{1/k} ( \omega x^{\frac 1h} ) + \cdots + E_{1/k} ( \omega^{h-1} x^{\frac 1h} ) \right\}, \] wo \(\omega \) eine primitive \(h\)-te Wurzel der Einheit bezeichnet, und hieraus folgt die Richtigkeit des Fundamentalsatzes für rationales \(\alpha\). Durch eine Grenzbetrachtung läßt sich endlich die Gültigkeit auf beliebiges \(\alpha\) erweitern.

Citations:

JFM 34.0435.01
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References:

[1] Comptes Rendus (2 mars, 12 octobre 1903).
[2] Man sehe etwa die Darstellung beiBorel,Leçons sur les séries divergentes, chapitre III, IV (Paris 1901).
[3] Für \(\varphi = \pm \frac{\pi }{{2k}}\) konvergiert zwar dieses Integral nicht absolut. Man findet aber leicht, dass, falls man dasselbe in einen reellen und einen imaginären Bestandteil auflöst, diese sich wie Reihen von absolut abnehmenden, abwechselnd positiven und negativen Gliedern verhalten.
[4] Durch diese Wahl von {\(\mu\)}1 bekommt man die schärfste obere Grenze für das Restintegral in (17) bei der asymptotischen Darstellung. Ist aber jener kleinste Wert = \(\frac{\pi }{{2k}}\) , so hat man für {\(\mu\)}1 zwei Möglichkeiten, welche gleich vorteilhaft sind.
[5] Wir machen darauf aufmerksam, dass die rationale Funktion \(\sum\limits_{v = 1}^k {\frac{{z^{ - n_1 + v - 1} }}{{\Gamma \left( {\frac{{ - n_1 + v}}{k}} \right)}}} \) in Wirklichkeit blosk Glieder enthält, weil fürn 1=eine durckk teilbare Zahl der Nenner \(\Gamma \left( {\frac{{ - n_1 + v}}{k}} \right)\) unendlich gross wird.
[6] und zwar in Abhängigkeit von |x|.
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