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Sur quelques généralisations du théorème de M. Picard. (French) JFM 36.0466.02

Der Satz von Landau (”F. d. M. 35, 401, 1904, siehe JFM 35.0401.02 u. JFM 35.0401.03”) läßt sich folgendermaßen verallgemeinern. Es sei \[ y= a_0 +a_1 x +a_2 x^2+\cdots \] eine Potenzreihe, durch die in der Nähe des Punktes \(x=0\) eine analytische Funktion dargestellt wird, welche im Innern des Kreises \(|x|=1\) an Singularitäten nur Pole besitzt. Bedeuten ferner \(A, B, C\) drei komplexe Zahlen, die von \(a_0\) verschieden sind, und \(m, n, p\) drei positive ganze Zahlen, für die die Ungleichheit \[ 1/m +1/n +1/p <1 \] erfüllt ist, so sollen sich die Funktionen: \[ (y- A)^{\frac 1m}, \quad (y-B)^{\frac 1n } , \quad (y-C)^{\frac 1 p} \] für jeden Wert von \(x\), dessen absoluter Wert kleiner als Eins ist und zu dem ein endlicher Wert von \(y\) gehört, regulär verhalten. Unter diesen Voraussetzungen, die die Voraussetzungen des Landauschen Satzes als besonderen Fall in sich enthalten, ist der absolute Betrag von \(a_1\) höchstens gleich einer Größe, die allein von \(a_0, A, B, C, m, n, p\) abhängt; es ist nämlich \[ |a_1| \leqq \left|\frac 1{w' (a_0)} \right|, \] und dabei ist \(w(y)\) der Quotient zweier hypergeometrischen Reihen, der den Teil \(T\) der \(y\)-Ebene, der \(a_0\) enthält und von dem Kreise durch die Punkte \(A, B, C\) begrenzt wird, konform auf ein Kreisbogendreieck abbildet, das aus dem Kreisbogendreieck mit den Winkeln \(\pi / m\), \(\pi/ n\), \(\pi/p\) durch eine Transformation mittels reziproker Radienvektoren und eine Umlegung hervorgeht. Gleichzeitig ergibt sich, daßdiese Grenze für den absoluten Betrag von \(a_1\) wirklich die obere Schranke der zulässigen Werte bildet.
Hierdurch ist nicht nur eine sehr befriedigende Aufklärung darüber gewonnen worden, warum bei dem Beweise, den Picard für sein berühmtes Theorem gegeben hat, die elliptische Modulfunktion auftrat, sondern es eröffnet sich auch sofort der Weg zu weiteren Verallgemeinerungen, die der Verfasser am Schlusse seiner Note andeutet.

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